Superelipse

Una superelipse o curva de Lamé es una figura geométrica que en coordenadas cartesianas está descrita por la siguiente ecuación:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1

donde n > 0 y a y b son los ejes de la figura.

Aunque a menudo se atribuye su invención al poeta y científico danés Piet Hein este no fue el descubridor de la superelipse. La notación cartesiana proviene del matemático francés Gabriel Lamé que generalizó la ecuación de la elipse.

Propiedades[editar]

Según el rango de valores de n se tienen los siguientes casos:

n = 2 es la elipse estándar (circunferencia para a=b).
Para n mayor que 2 se obtienen hiperelipses. En el caso límite de n infinito tenemos un rectángulo.
Para n menor que 2 se obtienen hipoelipses.

Hiperelipse con n =4, a, b = 1.
Hipoelipse con n =3/2, a, b = 1.
Hipoelipse con n =1/2, a, b = 1.

Una expresión que sirve para aproximar a la longitud o el perímetro de una hiperelipse, es la fórmula de Rivera, en ella se utiliza el valor del "semieje mayor" (a) y el valor del "semieje menor" (b) de la hiperelipse.

Si

$\left\vert {\frac {x}{a}}\right\vert ^{n}+\left\vert {\frac {y}{b}}\right\vert ^{n}=1$

Para n par, n >2, la expresión que aproxima al perímetro o longitud de una hiperelipse es:

$P\approx {\frac {\left({\frac {n}{2}}-1\right){\bigl (}a+b{\bigr )}+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\frac {n}{8}}}$

En el caso límite donde $b=0$ , la fórmula da el valor exacto $P=4a$ .

Las superelipses pueden ser descritas mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

x(\theta )=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}(\theta )

y(\theta )=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}(\theta )

0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}

Piet Hein fue quien popularizó el uso de la superelipse en arquitectura, diseño urbano y muebles, y el inventor del super-huevo o super-elipsoide partiendo de la superelipse: