Cuantificador

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En lógica matemática, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:

\forall \, x, y \ldots
Para todo x, y...
\exists \, x, y \ldots
Existe al menos un x, y...
\exists ! \, x, y \ldots
Existe exactamente un x, y...
  • Negación del cuantificador existencial
\nexists \, x, y \ldots
No existe ningún x, y...

Declaraciones cuantificadas[editar]

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

  •  \forall \, x \in \mathbb{R} \; , \quad 2x \in \mathbb{R}

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

  •  \forall \, a \in \mathbb{R} , \quad \exists \, x \in \mathbb{R} \; : \quad a < x < (a + 1)

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1.

  •  \forall \, a \in \mathbb{R}-\left\{{0}\right\} , \quad \exists ! \, x \in \mathbb{R} \; : \quad a \cdot x=1

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

Proposiciones[editar]

Cuantificación universal[editar]

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:


   \forall x \in A
   \; : \quad
   P(x)
Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x).

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:


   A =
   \{x \in U \; : \quad P(x)\}
Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).

Cuantificación existencial[editar]

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto ~A (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:


   \exists \, x \in A
   \; : \quad
   P(x)
Existe x en A que cumple P(x).

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:


   \{ x \in A
   \; : \quad
   P(x) \}
   \neq \emptyset
El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.

Cuantificación existencial única[editar]

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

 \exists ! \, x \in A   \; : \quad P(x)

Se lee:

Existe una única x elementos de A, que cumple P(x).

Equivalencias[editar]

Se tienen las siguientes relaciones universales:


   \forall x \in A \; : \quad P(x)
   \qquad \longleftrightarrow \qquad
   \neg \exists x \in A \; : \quad \neg P(x)
Si: para todo x de A se cumple P(x), es equivalente a: no existe x en A que no cumpla P(x).

   \exists x \in A \; : \quad P(x)
   \qquad \longleftrightarrow \qquad
   \neg \forall x\in A \; : \quad \neg P(x)
Si: existe x en A que cumple P(x), es equivalente a: no para todo x de A, no se cumple P(x).

En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una extensión por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la equivalencia:


   \exists ! x \in A \; : \quad P(x)
   \qquad \longleftrightarrow \qquad
   \exist z \in A\ \forall x, y \in A \;: P(z) \land (P(x) \; \land \; P(y)
   \rightarrow    x = y)
Si: existe un único x en A que cumple P(x), es equivalente a: para todo x, y de A, que cumple P(x) y P(y), entonces x es igual a y.

Véase también[editar]