Cuantificador

En lógica matemática, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:

• Cuantificador universal

$\forall \,x,y\ldots$

Para todo x, y...

• Cuantificador existencial

$\exists \,x,y\ldots$

Existe al menos un x, y...

• Cuantificador existencial único

$\exists !\,x,y\ldots$

Existe exactamente un x, y...

• Negación del cuantificador existencial

$\nexists \,x,y\ldots$

No existe ningún x, y...

Declaraciones cuantificadas

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

• $\forall \,x\in \mathbb {R} \;,\quad 2x\in \mathbb {R}$

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

• $\forall \,a\in \mathbb {R} ,\quad \exists \,x\in \mathbb {R} \;:\quad a<x<(a+1)$

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1.

• $\forall \,a\in \mathbb {R} -\left\{{0}\right\},\quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \;:\quad a\cdot x=1$

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

Proposiciones

Cuantificación universal

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

$\forall x\in A\;:\quad P(x)$

Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x).

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

$A=\{x\in U\;:\quad P(x)\}$

Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).

Cuantificación existencial

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto $~A$ (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:

$\exists \,x\in A\;:\quad P(x)$

Existe x en A que cumple P(x).

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

$\{x\in A\;:\quad P(x)\}\neq \emptyset$

El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.

Cuantificación existencial única

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

$\exists !\,x\in A\;:\quad P(x)$

Se lee:

Existe una única x elementos de A, que cumple P(x).

Equivalencias

Se tienen las siguientes relaciones universales:

$\forall x\in A\;:\quad P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \exists x\in A\;:\quad \neg P(x)$

Si: para todo x de A se cumple P(x), es equivalente a: no existe x en A que no cumpla P(x).

$\exists x\in A\;:\quad P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \forall x\in A\;:\quad \neg P(x)$

Si: existe x en A que cumple P(x), es equivalente a: no para todo x de A, no se cumple P(x).

En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una extensión por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la equivalencia:

$\exists !x\in A\;:\quad P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \exists z\in A\ \forall x,y\in A\;:P(z)\land (P(x)\;\land \;P(y)\rightarrow x=y)$

Si: existe un único x en A que cumple P(x), es equivalente a: para todo x, y de A, que cumple P(x) y P(y), entonces x es igual a y.

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Lógica de primer orden