Criterio de la raíz

En matemáticas, el criterio de la raíz o criterio de Cauchy es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad

C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},

donde $a_{n}$ son los términos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series de potencias.

El criterio establece que:

Si C < 1, entonces la serie converge absolutamente
Si C > 1, entonces la serie diverge,
Si C = 1 y $|a_{n}|>1$ de cierto $n$ en adelante, entonces la serie diverge.
En otros caso el criterio no lleva a ninguna conclusión.

Hay algunas series en que C= 1 y la serie converge, por ejemplo, $\textstyle \sum 1/{n^{2}}$ , y hay otros para los que C= 1 y la serie diverge, por ejemplo, $\textstyle \sum 1/n$ .

Aplicación a series de potencias

Este criterio se puede utilizar con una serie de potencias

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}

donde los coeficientes c_n, y el centro p son números complejos, y el argumento z es una variable compleja.

Los términos de esta serie vendrían dados por a_n = c_n(z − p)ⁿ. Entonces se aplica el criterio de la raíz a a_n como se vio más arriba. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se llama una serie de potencias "alrededor de p", ya que el radio de convergencia es el radio R del mayor intervalo o disco centrado en p de manera que el serie converge para todos los puntos z estrictamente en el interior del intervalo o disco. Como corolario del criterio de la raíz se obtiene que el radio de convergencia es exactamente $1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},$ , teniendo cuidado de que es ∞ si el denominador es 0.

Prueba

La prueba de la convergencia de una serie Σa_n es una aplicación del criterio de comparación. Si para todo n ≥ N (N algún número natural fijo) tenemos ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1,$ entonces $a_{n}<k^{n}<1.$ Puesto que la serie geométrica $\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}$ converge, también converge $\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}$ por el criterio de comparación. La convergencia absoluta en el caso de a_n no positivos puede ser probada de la misma forma usando ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}.$

Si ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1$ de un número infinito de n, entonces los a_n no convergen a 0, por lo tanto, la serie es divergente.

Véase también

Criterio de d'Alembert

Referencias

Knopp, Konrad (1956). «§ 3.2». Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6.
Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). «§ 2.35». A Course in Modern Analysis (fourth edition edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.

Prueba del criterio de la raíz (en inglés) en PlanetMath.

Datos: Q846705