Criterio de la raíz

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En matemática, el criterio de la raíz o criterio de Cauchy es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad

\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},

donde a_n son los términos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series de potencias.

l criterio de la raíz establece que:

  • Si C < 1, entonces la serie converge absolutamente
  • Si C > 1, entonces la serie diverge,
  • Si C = 1 y |a_n| > 1 de cierto n en adelante, entonces la serie diverge.
  • En otros caso el criterio no lleva a ninguna conclusión.

Hay algunas series en que C= 1 y la serie converge, por ejemplo,\textstyle \sum 1/{n^2}, y hay otros para los que C= 1 y la serie diverge, por ejemplo, \textstyle\sum 1/n.

Aplicación a series de potencias[editar]

Este criterio se puede utilizar con una serie de potencias

f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-p)^n

donde los coeficientes cn, y el centro p son números complejos, y el argumento z es una variable compleja.

Los términos de esta serie vendrían dados por an = cn(zp)n. Entonces se aplica el criterio de la raíz a an como se vio más arriba. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se llama una serie de potencias "alrededor de p", ya que el radio de convergencia es el radio R del mayor intervalo o disco centrado en p de manera que el serie converge para todos los puntos z estrictamente en el interior del intervalo o disco. Como corolario del criterio de la raíz se obtiene que el radio de convergencia es exactamente 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}},, teniendo cuidado de que es ∞ si el denominador es 0.

Prueba[editar]

La prueba de la convergencia de una serie Σan es una aplicación del criterio de comparación. Si para todo nN (N algún número natural fijo) tenemos \sqrt[n]{a_n} < k < 1, entonces a_n < k^n < 1. Puesto que la serie geométrica \sum_{n=N}^\infty k^n converge también converge \sum_{n=N}^\infty a_n por el criterio de comparación. La convergencia absoluta en el caso de an no positivos puede ser probada de la misma forma usando \sqrt[n]{|a_n|}.

Si \sqrt[n]{|a_n|} > 1 de un número infinito de n, entonces los an no convergen a 0, por lo tanto, la serie es divergente.

Referencias[editar]

  • Knopp, Konrad (1956). «§ 3.2». Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6. 
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). «§ 2.35». A Course in Modern Analysis (fourth edition edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3. 

Prueba del criterio de la raíz (en inglés) en PlanetMath