Complejo simplicial

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Un ejemplo de complejo simplicial. Este consiste en 17 puntos (0-simplejos), 22 aristas (1-simplejos), 8 triángulos (2-simplejos) y 1 tetraedro (3-simplejo).

En la matemática, un complejo simplicial es un tipo particular de espacio topológico construido mediante el pegado de puntos, segmentos de línea, triángulos, tetraedros y demás análogos de dimensiones superiores. Este concepto no debe ser confundido con la noción abstracta de conjunto simplicial que surge en la moderna teoría simplicial homotópica

Ejemplo[editar]

Sean p_0, \ldots, p_k \in \mathbb{R}^n con k \ge 1 que están en posición general, la clausura convexa del conjunto \{ p_0, \ldots, p_k \} se llama k-simplejo de \mathbb{R}^n y se denota \langle p_0, \ldots, p_k\rangle . Se prueba sin dificultad que:

\langle p_0, \cdots, p_k \rangle = \{ a \in \mathbb{R}^n\ |\ a=\sum_{i=1}^k \lambda_ip_i \}

con \sum_{i=0}^k \lambda_i=1 y \lambda_i \ge 0 para todas las i.

Los \lambda_i\, de la representación anterior se llaman coordenadas baricéntricas del punto a\,. Si tomamos \{p_{i_1}, \ldots, p_{i_l}\} \subseteq \{ p_0, \ldots, p_k\}, se dice que el r-simplejo \langle p_{i_1}, \cdots, p_{i_r}\rangle es una cara de \langle p_0, \cdots, p_k \rangle .

Observe que un 0-simplejo es un punto, un 1-simplejo es un segmento, un 2-simplejo es un triángulo y un 3-simplejo es un tetraedro.

Caracterización[editar]

Un complejo simplicial (finito) es un conjunto finito de simplejos K\, de \mathbb{R}^n que cumple las dos condiciones siguientes:

  1. Si un simplejo pertenece a K\,, entonces todas sus caras pertenecen a K\,.
  2. Si dos simplejos de K\, se cortan, su intersección es una cara común.

Referencias[editar]