Coordenadas baricéntricas (n-simplex)

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Las coordenadas baricéntricas permiten parametrizar mediante n+1 números reales en el intervalo [0,1] el interior de un n-simplex. En realidad, de las n+1 coordenadas baricéntricas sólo n son independientes, ya que la suma de todas es igual a uno.

Triángulo[editar]

Como ejemplo introductorio se considera un triángulo en el plano euclídeo \scriptstyle \mathbb{E}^2 de vértices \scriptstyle \text{A}=(x_A,y_A), \scriptstyle \text{B}=(x_B,y_B) y \scriptstyle \text{C}=(x_C,y_C), entonces cualquier punto del interior del triángulo \scriptstyle \text{P}=(x,y) puede ser representado por tres coordenadas baricéntricas \scriptstyle (\alpha,\beta,\gamma) tales que:

\alpha + \beta + \gamma = 1\,\qquad 0 \le \alpha, \beta, \gamma \le 1

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

\begin{cases} x = \alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C \\
y = \alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C \end{cases}

En concreto el lado \scriptstyle \text{AB} se caracteriza por tener \scriptstyle \gamma = 0, el lado \scriptstyle \text{BC} tiene \scriptstyle \alpha = 0, y el lado \scriptstyle \text{CA} \scriptstyle \beta = 0. El baricentro coincidirá con el punto \scriptstyle (\alpha,\beta,\gamma) = (1/3,\ 1/3,\ 1/3). El triángulo estará formado por todos los puntos del conjunto T:

T = \{(x,y)| \exists\alpha,\beta,\gamma:(\alpha+\beta+\gamma=1)\ \land\ (x = \alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C)\ \land\ (y = \alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C)\}

El lado a (opuesto al vértice A) será el conjunto de puntos:

(left)T_a = \{(x,y)\in T| \exists\beta,\gamma:(\beta+\gamma=1)\ \land\ (x = \beta x_B+\gamma x_C)\ \land\ (y = \beta y_B+\gamma y_C)\}

y análogamente los lados b y c por lo que la frontera del triángulo estará formada por los puntos tales que alguna de sus coordenadas baricéntricas sea cero. Y los vértices satisfacen que una de sus coordenadas baricéntricas es uno y las otras son nulas.

Tetraedro[editar]

La construcción anterior puede ampliarse a un tetraedro, no necesariamente regular, en el espacio euclídeo \scriptstyle \mathbb{E}^3. Si los vértices del tetraedro en cuestión son \scriptstyle \text{A}=(x_A,y_A,z_A), \scriptstyle \text{B}=(x_B,y_B,z_B), \scriptstyle \text{C}=(x_C,y_C,z_C) y \scriptstyle \text{D}=(x_D,y_D,z_D), entonces cualquier punto del interior del tetraedro \scriptstyle \text{P}=(x,y,z) puede ser representado por cuatro coordenadas baricéntricas \scriptstyle (t_A, t_B, t_C, t_D) tales que:

t_A + t_B + t_C + t_D = 1\,\qquad 0 \le t_X \le 1

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

\begin{cases} x = t_A x_A + t_B x_B + t_C x_C + t_D x_D \\
y = t_A y_A + t_B y_B + t_C y_C + t_D y_D \\
z = t_A z_A + t_B z_B + t_C z_C + t_D z_D \end{cases}

El baricentro coincidirá con el punto \scriptstyle (t_A, t_B, t_C, t_D)\ =\ (1/4,\ 1/4,\ 1/4,\ 1/4). Dado un punto P si ninguna de las coordenadas baricéntricas es cero t_A\ne 0, t_B\ne 0, t_C\ne 0, t_D\ne 0 el punto será un interior, si sólo una de ellas es cero será un punto interior a una de las caras del tetraedro, si dos y sólo dos de las coordenadas baricéntricas son cero el punto será el interior de una arista y si tres de las coordenadas baricéntricas son cero (y por tanto la otra igual a 1) el punto será un vértice.

n-simplex[editar]

Dado un n-simplex en el espacio euclídeo \scriptstyle \mathbb{E}^n, se pueden definir las coordenadas baricéntricas generalizadas. Si los n+1 vértices del n-simplex son:

V_i=(\sigma^i_1,\sigma^i_2,\ldots,\sigma^i_{n}) \qquad i=1,2,\ldots,n+1 \qquad,

entonces cualquier punto del interior del simplex \scriptstyle P=(p_1, p_2,\ldots,p_{n}) puede ser representado por n+1 coordenadas baricéntricas \scriptstyle (t_1,t_2,\ldots,t_{n+1}) tales que:

\sum_{i=1}^{n+1} t_i = 1\,\qquad 0 \le t_i \le 1

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

p_j=\sum_{i=1}^{n+1} t_i \sigma^i_j  \qquad j=1,2,\ldots,n

El baricentro coincidirá con el punto (t_1, t_2,\ldots,t_{n+1})\ =\ (1/(n+1),1/(n+1),\ldots,1/(n+1)).