Clausura simétrica

Sea $R$ una relación binaria aplicada sobre un conjunto $A$ , la clausura simétrica o cierre simétrico de $R$ , denotada $CS(R)$ , es la relación simétrica más pequeña aplicada sobre $A$ que contiene a $R$ .

En otras palabras, $CS(R)$ es la relación binaria que verifica:

$R\subseteq CS(R)$
$CS(R)\,$ es simétrica
Si $R'\,$ es una relación simétrica tal que $R\subseteq R'$ , entonces $CS(R)\subseteq R'$

Note que si $R$ es simétrica, entonces $CS(R)=R$ .

Cómo calcularla

Si tenemos una relación binaria $\scriptstyle {\mathcal {R}}$ sobre un conjunto de n elementos $\scriptstyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}$ , para calcular la clausuara simétrica conviene representar esta relación binaria como una matriz booleana $\scriptstyle B_{\mathcal {R}}$ definida como:

$B_{\mathcal {R}}=[b_{ij}]\quad {\mbox{donde}}\quad b_{ij}:={\begin{cases}1&{\mbox{si}}\ a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\\0&{\mbox{si}}\ \lnot a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\end{cases}}$

Es decir, si el elemento a_i y el elemento a_j están relacionados entonces en la fila i y la columna j de la matriz boleana aparecerá un 1, y si no están relacionados aparecerá un 0.

Si tenemos una relación expresada como matriz booleana, para obtener la matriz que representará a la clausura simétrica se cambian algunos 0s por 1s, en la matriz de la relación original para que la matriz final sea simétrica respecto de la diagonal principal.

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

La regla de cambio, efectivametne es: si $b_{ij}\neq b_{ji}$ entonces debemos hacer el siguiente cambio ${\bar {b}}_{ij}:={\bar {b}}_{ji}=\max\{b_{ij},b_{ji}\}$ .

Véase también