Álef (cardinales)

En matemáticas, se define $\aleph _{1}$ (primera letra del alfabeto hebreo llamada alef) como el menor cardinal mayor que $\aleph _{0}$, es decir, el menor cardinal mayor que el cardinal del conjunto de los números naturales, $\mathbb {N}$.

Relación con $\aleph _{0}$

El teorema de Cantor afirma que el cardinal de ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ es mayor que $\aleph _{0}$, donde ${\mbox{card}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))={\mbox{card}}(\mathbb {R} )$ es el conjunto potencia de los números naturales, que es exactamente el mismo que el cardinal de los números reales. Así pues,

$\aleph _{0}<{\mbox{card}}(\mathbb {R} ),$

lo que, considerando que ${\mbox{card}}(\mathbb {R} )=2^{\aleph _{0}}$, puede escribirse también así:

$\aleph _{0}<2^{\aleph _{0}}$

En la teoría ZFC, el axioma de elección permite probar que

$\aleph _{1}\leq 2^{\aleph _{0}},$

mientras que la hipótesis del continuo, algo que no puede ser demostrado ni infirmado en ZFC, afirma que

$\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$,

es decir, que el cardinal de los números reales es exactamente $\aleph _{1}$.

Más allá de $\aleph _{1}$

El teorema de Cantor sobre el conjunto potencia afirma que para cualquier conjunto A se cumple que:

${\mbox{card}}(A)<{\mbox{card}}({\mathcal {P}}(A))$

Lo cual abre la posibilidad a que existan cardinales transfinitos mayores que $\aleph _{1}$. La hipótesis del continuo generalizada de hecho permite ordenar los cardinales transfinitos de manera sencilla ya que en esencia afirma que:

$\forall n\geq 0:({\mbox{card}}(A)=\aleph _{n}\rightarrow {\mbox{card}}({\mathcal {P}}(A))=\aleph _{n+1})$

Véase también

• Alef cero
• Función alef
• Teoría de conjuntos
• Primer ordinal no numerable
• Hipótesis del continuo
• Infinito
• Georg Cantor