Hiperoperación

En matemáticas, la sucesión de hiperoperaciones​ es una  sucesión infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones)​​​ que se inicia con la única operación de sucesor (n = 0), luego se continúa con las operaciones binarias de adición (n = 1), multiplicación (n = 2), y potenciación (n = 3), después de que la secuencia continúa con más operaciones binarias, que se extiende más allá de la potenciación, mediante la asociatividad por derecha. Para las operaciones más allá de la potenciación, el n-ésimo miembro de esta sucesión es nombrado por Rubén Goodstein después del prefijo griego de n con el sufijo -ción (como tetración (n = 4), pentation (n = 5), hexation (n = 6), etc.)​ y puede ser escrito como el uso de n − 2 flechas en la notación flecha de Knuth. Cada hiperoperación puede ser entendido de forma recursiva en términos de la anterior por:

${\begin{matrix}a\uparrow ^{m}b&=&\underbrace {a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}(...(a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m-1}a))...)))} \\&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}$ (m ≥ 0)

Esto también puede ser definido de acuerdo a la regla de recursividad con parte de la definición, como en la versión flecha hacia arriba de Knuth de la función de Ackermann:

$a\uparrow ^{m}b=a\uparrow ^{m-1}(a\uparrow ^{m}(b-1))$ (m ≥ -1)

Esta puede ser usada fácilmente para mostrar números mucho más grandes que las que la notación científica puede, tales como el  número de Skewes y el googolplex, pero hay algunos números que incluso ellos no pueden mostrar fácilmente, tales como el  número de Graham y ÁRBOL(3).

Esta repetición de la regla es común a muchas variantes de hiperoperaciones (ver a continuación).

Definición

La sucesión de hiperoperaciones $H_{n}(a,b)\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}\,\!$ es la sucesión de operaciones binarias $H_{n}\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}\,\!$, que se define recursivamente como sigue:

$H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1{\text{ and }}b=0\\0&{\text{if }}n=2{\text{ and }}b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3{\text{ and }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}\,\!$

(Tenga en cuenta que para n = 0, la operación binaria esencialmente se reduce a una única operación (función sucesor) ignorando el primer argumento.)

Para n = 0, 1, 2, 3, esta definición reproduce las operaciones básicas de la aritmética del sucesor (que es una única operación), adición, multiplicación y potenciación, respectivamente, como

$H_{0}(a,b)=b+1\,\!,$

$H_{1}(a,b)=a+b\,\!,$

$H_{2}(a,b)=a\cdot b\,\!,$

$H_{3}(a,b)=a^{b}\,\!,$

Entonces, ¿cuál será la siguiente operación después de potenciación? Hemos definido la multiplicación de modo que $H_{2}(a,3)=a*3=a+a+a,$, y define la potenciación de modo que $H_{3}(a,3)=a^{3}=a\cdot a\cdot a,$ por lo que parece lógico definir la siguiente operación, la tetración, por lo que $H_{4}(a,3)=tetration(a,3)=a^{a^{a}},$ con una torre de tres 'un'. De forma análoga, la pentation de (a,3) será tetración(a,tetración(a,a))), con tres «a» en ella. Las H  operaciones para n ≥ 3 pueden ser escritas en la  la notación flecha de Knuth como:

$H_{4}(a,b)=a\uparrow \uparrow {b}\,\!,$

$H_{5}(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}\,\!,$

...

$H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 3\,\!,$

...

La notación de Knuth puede ser extendida a los índices negativos ≥ -2 de modo tal que esté de acuerdo con toda la sucesión de hiperoperaciones, excepto por el retraso en la indización:

$H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.\,\!$

Las hiperoperaciones por lo tanto puede ser vistas como una respuesta a la pregunta «¿qué es lo siguiente?» en la sucesión: sucesor, adición, multiplicación, potenciación, y así sucesivamente. Tomando nota de que:

• $a+b=(a+(b-1))+1$
• $a\cdot b=a+(a\cdot (b-1))$
• $a^{b}=a\cdot (a^{(b-1)})$
• $a\uparrow \uparrow b=a^{a\uparrow \uparrow {(b-1)}}$

la relación entre las operaciones aritméticas básicas se ilustra, permitiendo que la mayor de las operaciones sean definidas de forma natural, como anteriormente. Los parámetros de la jerarquía de hiperoperaciones se refieren a veces por el análogo de la potenciación;​ así,  a es la base, b es el exponente (o hiperexponente),​ y n es el rango (o grado).​

En términos comunes, las hiperoperaciones son maneras de componer números que aumentan en un crecimiento basado en la repetición de la anterior hiperoperación. Los conceptos de sucesor, adición, multiplicación y exponenciación son todos hiperoperaciones; el sucesor de operación (producción de x+1 en x) es el más primitivo, el operador especifica el número de veces 1 es que se añade a sí mismo para producir un valor final, la multiplicación especifica el número de veces que un número se añade a sí mismo, y la exponenciación se refiere al número de veces que un número se multiplica por sí mismo.

Ejemplos

Esta es una lista de las primeros siete (0 a 6) hiperoperaciones. (Observe que en este artículo, definimos 0⁰ como 1.)

n	Operation (Hn(a, b))	Definition	Names	Domain
0	$1+b$	${1+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} \atop {b{\mbox{ copies of 1}}}}}$	hyper0, increment, successor, zeration	arbitrary
1	$a+b$	${a+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} \atop {b{\mbox{ copies of 1}}}}}$	hyper1, addition	arbitrary
2	$a\cdot b$	${{\underbrace {a+a+a+\cdots +a} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$	hyper2, multiplication	arbitrary
3	$a^{b}$ or $a\uparrow b$	${{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$	hyper3, exponentiation	b real, with some multivalued extensions to complex numbers
4	$^{b}a$ or $a\uparrow \uparrow b$	${{\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow \cdots \uparrow a))...)} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$	hyper4, tetration	a ≥ 0 or an integer, b an integer ≥ −1​ (with some proposed extensions)
5	$a\uparrow \uparrow \uparrow b$ or $a\uparrow ^{3}b$	${{\underbrace {a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a))...)} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$	hyper5, pentation	a, b integers ≥ −1​
6	$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$ or $a\uparrow ^{4}b$	${{\underbrace {a\uparrow ^{3}(a\uparrow ^{3}(a\uparrow ^{3}(a\uparrow ^{3}\cdots \uparrow ^{3}a))...)} } \atop {b{\mbox{ copies of }}a}}$	hyper6, hexation	a, b integers ≥ −1​

Casos especiales

H_n(0, b) =

0, cuando n = 2 o n = 3, b ≥ 1, o, n ≥ 4, b impar (≥ -1)

1, cuando n = 3, b = 0, n ≥ 4, b (≥ 0)

b, cuando n = 1

b + 1, cuando n = 0

H_n(a, 0) =

0, cuando n = 2

1, cuando n = 0, n ≥ 3

a, cuando n = 1

0, cuando n = 0, n ≥ 4

a − 1, cuando n = 1

−a, cuando n = 2

1/una1/a , cuando n = 3

La historia

Uno de los primeros análisis sobre hiperoperaciones fue la de Albert Bennett​ en 1914, que han desarrollado algunos de la teoría de la conmutativa de hiperoperaciones (ver a continuación). Unos 12 años más tarde, Wilhelm Ackermann definió la función $\phi (a,b,n)\,\!$​ lo que de alguna manera se asemeja a la sucesión de hiperoperaciones.

En su 1947 papel,​ R. L. Goodstein introdujo la sucesión específica de las operaciones que ahora se llaman hiperoperaciones, y sugiere también los nombres griegos de tetración, pentación, etc., para la ampliación de las operaciones más allá de potenciación (ya que se corresponden con los índices 4, 5, etc.). Como una función de tres argumentos, por ejemplo, $G(n,a,b)=H_{n}(a,b)$, la sucesión de hiperoperaciones como un todo, es vista como una versión de la función de Ackermann original $\phi (a,b,n)\,\!$ — que es recursiva , pero no primitiva recursiva — fue modificada por Goodstein para incorporar la primitiva función sucesor , junto con las otras tres operaciones básicas de la aritmética (adición, multiplicación, exponenciación), y para hacer más fluida la extensión de estos más allá de potenciación.

 La función de Ackermann original de tres argumentos $\phi \,\!$ utiliza la misma regla de recursividad que la versión de Goodstein versión de ella (es decir, la hiperoperación secuencia), pero difiere de la misma de dos maneras. En primer lugar, $\phi (a,b,n)\,\!$ se define como una sucesión de operaciones a partir de la suma (n = 0) en lugar de la función sucesor, luego la multiplicación (n = 1), la potenciación (n = 2), etc. En segundo lugar, las condiciones iniciales de $\phi \,\!$ resultan en $\phi (a,b,3)=a\uparrow \uparrow (b+1)\,\!$, así se distinguen de las hyperoperaciones más allá de potenciación.​​​ La importancia de la b + 1 en la expresión anterior es que $\phi (a,b,3)\,\!$ = $a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}\,\!$, donde b cuenta el número de operadores (potenciaciones), en vez de contar el número de operandos ("a") como la b en $a\uparrow \uparrow b\,\!$, y así sucesivamente para el más alto nivel de las operaciones. (Ver el artículo función de Ackermann para obtener más detalles.)

Notaciones

Esta es una lista de notaciones que se han utilizado para las hiperoperaciones.

Name	Notation equivalent to $H_{n}(a,b)$	Comment
Knuth's up-arrow notation	$a\uparrow ^{n-2}b\,\!$	Used by Knuth​ (for n ≥ 3), and found in several reference books.​​
Goodstein's notation	$G(n,a,b)\,\!$	Used by Reuben Goodstein.​
Original Ackermann function	${\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ for }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ for }}n\geq 4\end{matrix}}\,\!$	Used by Wilhelm Ackermann (for n ≥ 1) ​
Ackermann–Péter function	$A(n,b-3)+3\ {\text{for }}a=2\,\!$	This corresponds to hyperoperations for base 2 (a = 2)
Nambiar's notation	$a\otimes ^{n-1}b\,\!$	Used by Nambiar (for n ≥ 1) ​
Box notation	$a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b\,\!$	Used by Rubtsov and Romerio.​​
Superscript notation	$a{}^{(n)}b\,\!$	Used by Robert Munafo.​
Subscript notation (for lower hyperoperations)	$a{}_{(n)}b\,\!$	Used for lower hyperoperations by Robert Munafo.​
Operator notation (for "extended operations")	$aO_{n-1}b\,\!$	Used for lower hyperoperations by John Donner and Alfred Tarski (for n ≥ 1).​
Square bracket notation	$a[n]b\,\!$	Used in many online forums; convenient for ASCII.
Conway chained arrow notation	$a\to b\to (n-2)$	Used by John Horton Conway (for n ≥ 3)
Bowers' Exploding Array Function	$\{a,b,n,1\}$	Used by Jonathan Bowers (for n ≥ 1)

Variante partiendo de a

En 1928, Wilhelm Ackermann definió una función de 3 argumentos $\phi (a,b,n)$ que evolucionó gradualmente hacia una función de 2 argumentos que se conoce como la función de Ackermann. La versión original de la función de Ackermann $\phi$ fue menos similar a las modernas hiperoperaciones, debido a sus condiciones iniciales: empezar con $\phi (a,0,n)=a$ para todo n > 2. También él asignó la adición para n = 0, la multiplicación para n = 1 y potenciación para n = 2, por lo que las condiciones iniciales producen muy diferentes operaciones para la tetración y más allá.

n	Operación	Comentario
0	$F_{0}(a,b)=a+b$
1	$F_{1}(a,b)=a\cdot b$
2	$F_{2}(a,b)=a^{b}$
3	$F_{3}(a,b)=a\uparrow \uparrow (b+1)$	Un desplazamiento en forma de tetración. La iteración de esta operación es diferente de la iteración de tetración.
4	$F_{4}(a,b)=(x\mapsto a\uparrow \uparrow (x+1))^{b}(a)$	No debe confundirse con pentación.

Otra condición inicial que se ha utilizado es $A(0,b)=2b+1$ (donde la base es constante $a=2$), debido a Rózsa Péter, que no forma una  jerarquía .

  Hiperoperaciones inferiores

Una alternativa para estas hiperoperaciones se obtiene mediante la evaluación de izquierda a derecha. Desde

• $a+b=(a+(b-1))+1$
• $a\cdot b=(a\cdot (b-1))+a$
• $a^{b}=(a^{(b-1)})\cdot a$

definir (con ° o subíndice)

$a_{(n+1)}b=(a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a$

con

${\begin{array}{lcll}a_{(1)}b&=&a+b\\a_{(2)}0&=&0\\a_{(n)}1&=&a&{\text{for }}n>2\\\end{array}}$

Esto se extendió a los números ordinales por Donner y Tarski,​^{[Definición 1]} mediante :

${\begin{array}{lcl}\alpha O_{0}\beta &=&\alpha +\beta \\\alpha O_{\gamma }\beta &=&\sup \limits _{\eta <\beta ,\xi <\gamma }(\alpha O_{\gamma }\eta )O_{\xi }\alpha \end{array}}$

Hiperoperaciones conmutativas

Las hiperoperaciones conmutativas fueron analizadas por Albert Bennett ya en 1914,​ lo cual es, posiblemente, la primera observación acerca de cualquier sucesión de hiperoperaciones. Las hiperoperaciones conmutativas son definidos por la regla de la recursividad

$F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))$

que es simétrica en a y b, es decir, todos las hiperoperaciones son conmutativas. Esta secuencia no contiene potenciación, y así no se forma de una jerarquía de hiperoperaciones.

n	Operación	Comentario
0	$F_{0}(a,b)=\ln(e^{a}+e^{b})$
1	$F_{1}(a,b)=a+b$
2	$F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}$	Esto es debido a las propiedades de los logaritmos.
3	$F_{3}(a,b)=a^{\ln(b)}=e^{\ln(a)\ln(b)}$	Una forma conmutativa  de potenciación.
4	$F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}$	No debe confundirse con tetración.

Ver también

• Grandes números