Producto tensorial inyectivo

En matemáticas, el producto tensorial inyectivo de dos espacios vectoriales topológicos (EVTs) fue introducido por Alexander Grothendieck, que lo utilizó para definir los espacios nucleares. En general, un producto tensorial inyectivo no es necesariamente completo, por lo que su completación se denomina productos tensoriales inyectivos completos. Los productos tensoriales inyectivos tienen aplicaciones fuera de los espacios nucleares. En particular, como se describe a continuación, muchos EVTs que se definen para funciones con valores reales o complejos, por ejemplo, el espacio de Schwartz o el espacio de funciones continuamente diferenciables, se pueden extender inmediatamente a funciones valoradas en un EVT localmente convexo de Hausdorff $Y$ sin necesidad alguna de extender definiciones (como "diferenciable en un punto") de funciones con valores reales/complejos a funciones con valores en $Y$.

Preliminares y notación

Sean $X,Y,$ y $Z$ espacios vectoriales topológicos, y $L:X\to Y$ una aplicación lineal.

• $L:X\to Y$ es un homomorfismo topológico u homomorfismo, si es lineal, continuo, y $L:X\to \operatorname {Im} L$ es una aplicación abierta, donde $\operatorname {Im} L=L(X)$ tiene la topología subespacial inducida por $Y$
  • Si $S$ es un subespacio de $X$, entonces tanto la aplicación cociente $X\to X/S$ como la inyección canónica $S\to X$ son homomorfismos. En particular, cualquier aplicación lineal $L:X\to Y$ se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: $X\to X/\ker L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y$ donde $L_{0}(x+\ker L):=L(x)$ define una biyección.
• El conjunto de aplicaciones lineales continuas $X\to Z$ (respectivamente, aplicaciones bilineales continuas $X\times Y\to Z$) se denotará por $L(X;Z)$ (respectivamente, $B(X,Y;Z)$), donde si $Z$ es el cuerpo escalar, entonces se puede escribir $L(X)$ (respectivamente, $B(X,Y)$).
• El conjunto de aplicaciones bilineales continuas separadamente $X\times Y\to Z$ (es decir, continuas en cada variable cuando la otra variable es fija) se denotará por ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ donde, si $Z$ es el cuerpo escalar, entonces se puede escribir ${\mathcal {B}}(X,Y).$
• Denótese el espacio dual de $X$ por $X^{\prime }$ y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en $X,$ sean continuas o no) por $X^{\#}.$
  • Para aumentar la claridad de la exposición, se usa la convención común de escribir elementos de $X^{\prime }$ con una comilla después del símbolo (por ejemplo, $x^{\prime }$ denota un elemento de $X^{\prime }$ (no confundir con una derivada) y las variables $x$ y $x^{\prime }$ en general no están relacionadas de manera alguna).

Notación para topologías

• $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$ denota la topología más gruesa en $X$, lo que hace que cada aplicación en $X^{\prime }$ sea continua y $X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ o $X_{\sigma }$ denota $X$ dotado con esta topología.
• $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ denota la topología *débil sobre $X^{\prime }$ y $X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ o $X_{\sigma }^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotado con esta topología.
  • Téngase en cuenta que cada $x_{0}\in X$ induce una aplicación $X^{\prime }\to \mathbb {R}$ definida por $\lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).$ $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ es la topología más gruesa en X', lo que hace que todas esas aplicaciones sean continuas.
• $b\left(X,X^{\prime }\right)$ denota la topología de convergencia acotada en $X$ y $X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}$ o $X_{b}$ denota $X$ dotado con esta topología.
• $b\left(X^{\prime },X\right)$ denota la topología de convergencia limitada en $X^{\prime }$ o la topología dual fuerte en $X^{\prime }$ y $X_{b\left(X^{\prime },X\right)}$ o $X_{b}^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotado con esta topología.
  • Como es habitual, si $X^{\prime }$ se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha dejado claro con qué topología está dotado, entonces se asumirá que la topología es $b\left(X^{\prime },X\right).$
• $\tau \left(X,X^{\prime }\right)$ denota la topología de Mackey en $X$ o la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos equilibrados débilmente compactos de $X^{\prime }$ y $X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}$ o $X_{\tau }$ denota $X$ dotado con esta topología. $\tau (X,X^{\prime })$ es la topología más fina en un EVT localmente convexo $X$, cuyo espacio dual continuo es igual a $X^{\prime }.$
• $\tau \left(X^{\prime },X\right)$ denota la topología de Mackey sobre $X^{\prime }$ o la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos equilibrados débilmente compactos de $X$ y $X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}$ o $X_{\tau }^{\prime }$ denota $X$ dotado de esta topología.
  • Téngase en cuenta que $\tau \left(X^{\prime },X\right)\subseteq b\left(X^{\prime },X\right)\subseteq \tau \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right).$​
• $\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)$ denota la 'topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }$ y $X_{\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}$ o $X_{\varepsilon }$ denota $X$ dotado con esta topología.
  • Si $H$ es un conjunto de aplicaciones lineales $X\to Y$, entonces $H$ es equicontinuo si y solo si es equicontinuo en el origen; es decir, si y solo si para cada entorno $V$ del origen en $Y,$ existe un entorno $U$ del origen en $X$ tal que $\lambda (U)\subseteq V$ para cada $\lambda \in H.$
• Un conjunto $H$ de aplicaciones lineales de $X$ a $Y$ se llama equicontinuo si para cada entorno $V$ del origen en $Y,$ existe un entorno $U$ del origen en $X$ tal que $h(U)\subseteq V$ para todo $h\in H.$​

Definición

En todo momento, se considra que $X$ e $Y$ son espacios vectoriales topológicos con espacios duales continuos $X^{\prime }$ e $Y^{\prime }.$ Téngase en cuenta que casi todos los resultados descritos son independientes de si estos espacios vectoriales están sobre $\mathbb {R}$ o sobre $\mathbb {C}$, pero para simplificar la exposición se asume que están sobre el cuerpo $\mathbb {C} .$

Aplicaciones bilineales continuas como producto tensorial

A pesar de que el producto tensorial $X\otimes Y$ es una construcción puramente algebraica (su definición no implica ninguna topología), el espacio vectorial $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ de funcionales bilineales continuos es siempre un producto tensorial de $X$ e $Y$ (es decir, $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y$) cuando se define $\,\otimes \,$ en la forma ahora descrita.​

Para cada $(x,y)\in X\times Y,$ denótese por $x\otimes y$ la forma bilineal en $X^{\prime }\times Y^{\prime }$ definida por

$(x\otimes y)\left(x^{\prime },y^{\prime }\right):=x^{\prime }(x)y^{\prime }(y).$

Este aplicación $x\otimes y:X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }\to \mathbb {C}$ es siempre continua,​ y por lo tanto, la asignación que envía $(x,y)\in X\times Y$ a la forma bilineal $x\otimes y$ induce una aplicación canónica.

$\cdot \,\otimes \,\cdot \;:\;X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$

cuya imagen $X\otimes Y$ está contenida en $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).$ De hecho, cada forma bilineal continua en $X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }$ pertenece al intervalo de la imagen de esta aplicación (es decir, $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=\operatorname {span} (X\otimes Y)$). El siguiente teorema se puede utilizar para verificar que

$B\left(X\prime _{\sigma },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ junto con la aplicación anterior $\,\otimes \,$ es un producto tensorial de $X$ e $Y.$

Sean $X,Y,$ y $Z$ espacios vectoriales, y sea $T:X\times Y\to Z$ una aplicación bilineal. Entonces, $(Z,T)$ es un producto tensorial de $X$ e $Y$ si y solo si​ la imagen de $T$ abarca todo $Z$ (es decir, $Z=\operatorname {span} T(X\times Y)$), y los espacios vectoriales $X$ e $Y$ son $T$-linealmente disjuntos, lo que por definición​ significa que para todas las sucesiones de elementos $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ y $y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y$ de la misma longitud finita $n\geq 1$ que satisfacen $0=T\left(x_{1},y_{1}\right)+\cdots +T\left(x_{n},y_{n}\right),$ Si todos los $x_{1},\ldots ,x_{n}$ son linealmente independientes, entonces todos los $y_{i}$ son $0,$ y Si todos los $y_{1},\ldots ,y_{n}$ son linealmente independientes, entonces todos los $x_{i}$ son $0.$ De manera equivalente,​ $X$ e $Y$ son $T$ linealmente disjuntos si y solo si para todas las sucesiones linealmente independientes $x_{1},\ldots ,x_{m}$ en $X$ y todas las sucesiones linealmente independientes $y_{1},\ldots ,y_{n}$ en $Y,$ los vectores $\left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}$ son linealmente independientes.

Topología

De ahora en adelante, se supondrá que todos los espacios vectoriales topológicos considerados son localmente convexos. Si $Z$ es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces ${\textstyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)~\subseteq ~{\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$​ y para cualquier subconjunto equicontinuo $G\subseteq X^{\prime }$ y $H\subseteq Y^{\prime },$ y cualquier entorno $N$ en $Z,$ definen

${\mathcal {U}}(G,H,N)=\left\{b\in {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)~:~b(G,H)\subseteq N\right\}$

donde cada conjunto $b(G\times H)$ está acotado en $Z,$​ lo que es necesario y suficiente para que la colección de todos los ${\mathcal {U}}(G,H,N)$ forme una topología en un EVT localmente convexa en ${\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).$​ Esta topología se llama topología $\varepsilon$ y siempre que un espacio vectorial esté dotado de la topología $\varepsilon$, esto se indicará colocando $\varepsilon$ como subíndice antes del paréntesis de apertura. Por ejemplo, ${\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)$ dotado con la topología $\varepsilon$ se indicará como ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).$ Si $Z$ es de Hausdorff, entonces también lo es la topología $\varepsilon$.​

En el caso especial en el que $Z$ es el cuerpo escalar subyacente, $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ es el producto tensorial $X\otimes Y$, por lo que el espacio vectorial topológico $B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ se denomina producto tensorial inyectivo de $X$ e $Y$ y se denota por $X\otimes _{\varepsilon }Y.$ Este EVT no es necesariamente completo, por lo que se construirá su completación, indicada por $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y,$. Cuando todos los espacios son de Hausdorff, entonces ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ está completo si y solo si tanto $X$ como $Y$ están completos,​ en cuyo caso la completación $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ de $B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ es un subespacio vectorial de ${\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).$ Si $X$ e $Y$ son espacios normados, entonces también lo es ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right),$ donde ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ es un espacio de Banach si y solo si esto es cierto tanto para $X$ como para $Y.$​

Conjuntos equicontinuos

Una razón para converger en subconjuntos equicontinuos (de todos los tipos) es el siguiente hecho importante:

Un conjunto de funcionales lineales continuas $H$ en un EVT $X$​ es equicontinuo si y solo si está contenido en el polar de algún entorno $U$ del origen en $X$; es decir, $H\subseteq U^{\circ }.$

La topología de un EVT está completamente determinada por los entornos abiertos del origen. Este hecho, junto con el teorema bipolar, significa que mediante la operación de tomar la polar de un subconjunto, la colección de todos los subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }$ "codifica" toda la información sobre la topología dada de $X$. Específicamente, distintas topologías de un EVT localmente convexas en $X$ producen distintas colecciones de subconjuntos equicontinuos y, a la inversa, dada cualquier colección de conjuntos equicontinuos, la topología original de un EVT se puede recuperar tomando el polar de cada conjunto (equicontinuo) de la colección. Así, a través de esta identificación, la convergencia uniforme en la colección de subconjuntos equicontinuos es esencialmente una convergencia uniforme en la topología misma del EVT. Esto permite relacionar directamente la topología inyectiva con las topologías dadas de $X$ e $Y.$ Además, la topología de un espacio de Hausdorff localmente convexo $X$ es idéntica a la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }.$​.

Por esta razón, en el artículo se enumeran algunas propiedades de conjuntos equicontinuos que son relevantes para tratar con el producto tensorial inyectivo. $X$ e $Y$ son cualquier espacio localmente convexo y $H$ es una colección de aplicaciones lineales de $X$ sobre $Y.$

• Si $H\subseteq L(X;Y)$ es equicontinua, entonces las topologías subespaciales que $H$ hereda de las siguientes topologías en $L(X;Y)$ son idénticas:​
  1. La topología de la convergencia precompacta.
  2. La topología de la convergencia compacta.
  3. La topología de la convergencia puntual.
  4. La topología de la convergencia puntual en un subconjunto denso dado de $X.$
• Un conjunto equicontinuo $H\subseteq L(X;Y)$ está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en $L_{b}(X;Y)$).​ Entonces, en particular, $H$ también estará acotado en cada topología del EVT que sea más gruesa que la topología de convergencia acotada.
• Si $X$ es un espacio barrilado e $Y$ es localmente convexo, entonces para cualquier subconjunto $H\subseteq L(X;Y),$ las siguientes expresiones son equivalentes:
  1. $H$ es equicontinuo.
  2. $H$ está acotado en la topología de convergencia puntual (es decir, acotado en $L_{\sigma }(X;Y)$).
  3. $H$ está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en $L_{b}(X;Y)$).

En particular, para demostrar que un conjunto $H$ es equicontinuo basta demostrar que está acotado en la topología de convergencia puntual.​

• Si $X$ es un espacio de Baire, entonces cualquier subconjunto $H\subseteq L(X;Y)$ que esté acotado en $L_{\sigma }(X;Y)$ es necesariamente equicontinuo.​
• Si $X$ es separable, $Y$ es metrizable y $D$ es un subconjunto denso de $X,$ entonces la topología de convergencia puntual en $D$ hace que $L(X;Y)$ sea metrizable, de modo que, en particular, la topología subespacial que cualquier subconjunto equicontinuo $H\subseteq L(X;Y)$ hereda de $L_{\sigma }(X;Y)$ es metrizable.​

Para subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo $X^{\prime }$ (donde $Y$ es ahora el campo escalar subyacente de $X$), se cumple lo siguiente:

• El cierre débil de un conjunto equicontinuo de funcionales lineales en $X$ es un subespacio compacto de $X_{\sigma }^{\prime }.$​
• Si $X$ es separable, entonces cada subconjunto equicontinuo débilmente cerrado de $X_{\sigma }^{\prime }$ es un espacio compacto metrizable cuando se le da la topología débil (es decir, la topología subespacial heredada de $X_{\sigma }^{\prime }$).​
• Si $X$ es un espacio normal, entonces un subconjunto $H\subseteq X^{\prime }$ es equicontinuo si y solo si está fuertemente acotado (es decir, acotado en $X_{b}^{\prime }$).​
• Si $X$ es un espacio barrilado, entonces para cualquier subconjunto $H\subseteq X^{\prime },$ lo siguiente es equivalente:​
  1. $H$ es equicontinuo;
  2. $H$ es relativamente compacto en la topología dual débil;
  3. $H$ está débilmente acotado;
  4. $H$ está fuertemente acotado.

Mencionamos algunas propiedades básicas importantes adicionales relevantes para el producto tensor inyectivo:

• Supongamos que $B:X_{1}\times X_{2}\to Y$ es una aplicación bilineal donde $X_{1}$ es Espacio de Fréchet, $X_{2}$ es metrizable e $Y$ es localmente convexo. Si $B$ es continuo por separado, entonces es continuo.​

Identificación canónica de aplicaciones bilineales continuas por separado con aplicaciones lineales

La igualdad establecida $L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)=L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)$ siempre se cumple; es decir, si $u:X^{\prime }\to Y$ es una aplicación lineal, entonces $u:X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}$ es continuo si y solo si $u:X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y$ es continuo, donde aquí $Y$ tiene su topología original.​

También existe un isomorfismo canónico en el espacio vectorial​

$J:{\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }\right)\to L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}\right).$

Para definirlo, para cada forma bilineal continua por separado $B$ definida en $X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\times Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }$ y cada $x^{\prime }\in X^{\prime },$ dejemos que $B_{x^{\prime }}\in \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$ se defina por

$B_{x^{\prime }}\left(y^{\prime }\right):=B\left(x^{\prime },y^{\prime }\right).$

Debido a que $\left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$ es canónicamente isomorfo en el espacio vectorial de $Y$ (a través del valor dla aplicación canónico $y\mapsto$ en $y$), $B_{x^{\prime }}$ se identificará como un elemento de $Y,$ que se denotará por ${\tilde {B}}_{x^{\prime }}\in Y.$ Esto define una aplicación ${\tilde {B}}:X^{\prime }\to Y$ dado por $x^{\prime }\mapsto {\tilde {B}}_{x^{\prime }}$ y, por lo tanto, el isomorfismo canónico está, por supuesto, definido por $J(B):={\tilde {B}}.$

Cuando a $L\left(X_{\sigma }^{\sigma };Y_{\sigma }\right)$ se le da la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime },$ la aplicación canónico se convierte en un isomorfismo EVT​

$J:{\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)\to L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right).$

En particular, $X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ puede integrarse canónicamente en EVT en $L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)$; además, la imagen en $L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)$ de $X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ bajo la aplicación canónico $J$ consiste exactamente en el espacio de aplicaciones lineales continuas $X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y$ cuya imagen es de dimensión finita.​

La inclusión $L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)\subseteq L\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$ siempre se mantiene. Si $X$ está normado, entonces $L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)$ es de hecho un subespacio vectorial topológico de $L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).$ Y si además $Y$ es Banach, entonces también lo es $L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$ (incluso si $X$ no está completo).​

Propiedades

la aplicación canónico $\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ es siempre continuo​ y la topología e es siempre más basta que π-topology,​ que a su vez es más basta que inductive topology (la topología EVT localmente convexa más fina que hace que $X\times Y\to X\otimes Y$ sea continuo por separado). El espacio $X\otimes _{\varepsilon }Y$ es Hausdorff si y solo si tanto $X$ como $Y$ son Hausdorff.​

Si $X$ e $Y$ están normalizados, entonces $X\otimes _{\varepsilon }Y$ es normal, en cuyo caso para todos $\theta \in X\otimes Y,$ $\|\theta \|_{\varepsilon }\leq \|\theta \|_{\pi }.$​

Supongamos que $u:X_{1}\to Y_{1}$ y $v:X_{2}\to Y_{2}$ son dos aplicaciones lineales entre espacios localmente convexos. Si tanto $u$ como $v$ son continuos, entonces también lo es su producto tensor $u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}.$​ Además:

• Si $u$ y $v$ son ambos Espacio vectorial topológico, entonces también lo es $u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.$​
• Si $X_{1}$ (respectivamente, $Y_{1}$) es un subespacio lineal de $X_{2}$ (respectivamente, $Y_{2}$), entonces $X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}$ es canónicamente isomorfo a un subespacio lineal de $X_{2}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}$ y $X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{1}$ es canónicamente isomorfo a un subespacio lineal de $X_{2}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.$​
• Hay ejemplos de $u$ y $v$ de modo que tanto $u$ como $v$ son homomorfismos sobreyectivos, pero $u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}$ es , no , un homomorfismo.​
• Si los cuatro espacios están normalizados entonces $\|u\otimes v\|_{\varepsilon }=\|u\|\|v\|.$​

Relación con el producto tensorial proyectivo y los espacios nucleares

La topología proyectiva o la topología $\pi$ es la topología localmente convexa de finest sobre $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y$ que hace continuo la aplicación canónico $X\times Y\to B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ definido enviando $(x,y)\in X\times Y$ a la forma bilineal $x\otimes y.$ Cuando $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y$ está dotado de esto topología, entonces se denotará por $X\otimes _{\pi }Y$ y se llamará producto tensorial proyectivo de $X$ e $Y.$

Grothendieck utilizó la siguiente definición para definir los espacios nucleares.​

Definición 0: Sea $X$ un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces $X$ es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo $Y,$ el espacio vectorial canónico que incrusta $X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ es una incrustación de EVT cuya imagen es densa en el codominio.

Identificaciones canónicas de aplicaciones bilineales y lineales

En esta sección describimos identificaciones canónicas entre espacios de aplicaciones bilineales y lineales. Estas identificaciones se utilizarán para definir subespacios y topologías importantes (particularmente aquellos que se relacionan con operador nuclear y espacio nuclear).

Espacios duales del producto tensorial inyectivo y su terminación

Suponer que

$\operatorname {In} :X\otimes _{\varepsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$

denota la incrustación EVT de $X\otimes _{\varepsilon }Y$ en su finalización y deja

${}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }$

sea su matriz transpuesta, que es un isomorfismo espacial vectorial. Esto identifica el espacio dual continuo de $X\otimes _{\varepsilon }Y$ como idéntico al espacio dual continuo de $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$

la aplicación de identidad

$\operatorname {Id} _{X\otimes Y}:X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y$

es continuo (por definición de π-topology), por lo que existe una extensión lineal continua única

${\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$

Si $X$ e $Y$ son Espacio de Hilbert, entonces ${\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ es inyectivo y el dual de $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ es canónicamente isométricamente isomorfo al espacio vectorial $L^{1}\left(X;Y^{\prime }\right)$ de operador nuclear de $X$ a $Y$ (con la norma de traza).

Producto tensor inyectivo de espacios de Hilbert

Hay una aplicación canónico.

$K:X\otimes Y\to L\left(X^{\prime };Y\right)$

que envía $z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}$ al aplicación lineal $K(z):X^{\prime }\to Y$ definido por

$K(z)\left(x^{\prime }\right):=\sum _{i=1}^{n}x^{\prime }(x_{i})y_{i}\in Y,$

donde se puede demostrar que la definición de $K(z):X\to Y$ no depende de la elección particular de representación ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$ de $z.$ la aplicación

$K:X\otimes _{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$

es continuo y cuando $L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$ está completo, tiene una extensión continua

${\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).$

Cuando $X$ e $Y$ son Espacio de Hilbert, entonces ${\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$ es una incrustación de EVT y isometría (cuando los espacios reciben sus normas habituales) cuyo rango es el espacio de todos los operadores lineales compactos desde $X$ hasta $Y$ (que es un subespacio vectorial cerrado de $L_{b}\left(X^{\prime };Y\right).$, por lo tanto $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ es idéntico al espacio de operadores compactos de $X^{\prime }$ a $Y$ (tenga en cuenta el número primo en $X$). El espacio de operadores lineales compactos entre dos Espacio de Banach cualesquiera (que incluye Espacio de Hilbert) $X$ e $Y$ es un subconjunto cerrado de $L_{b}(X;Y).$​

Además, la aplicación canónica $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ es inyectiva cuando $X$ e $Y$ son espacios de Hilbert.​

===Formas integrales y operadores===.

Formas bilineales integrales

Denota la aplicación de identidad por

$\operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y$

y deja

${}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }$

denotamos su matriz transpuesta, que es una inyección continua. Recuerde que $\left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }$ se identifica canónicamente con $B(X,Y),$ el espacio de aplicaciones bilineales continuas en $X\times Y.$ De esta manera, el espacio dual continuo de $X\otimes _{\varepsilon }Y$ se puede identificar canónicamente como un espacio subvectorial de $B(X,Y),$ denotado por $J(X,Y).$ Los elementos de $J(X,Y)$ se denominan integrales'. ('bilineal) formas en $X\times Y.$ El siguiente teorema justifica la palabra integral .

'Theorem'​​ The dual $J(X,Y)$ of $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ consists of exactly those continuous bilinear forms v on $X\times Y$ that can be represented in the form of a map $b\in B(X,Y)\mapsto v(b)=\int _{S\times T}b{\big \vert }_{S\times T}\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)\operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime }\right)$ where $S$ and $T$ are some closed, equicontinuous subsets of $X_{\sigma }^{\prime }$ and $Y_{\sigma }^{\prime },$ respectively, and $\mu$ is a positive Radon measure on the compact set $S\times T$ with total mass $\leq 1.$ Furthermore, if $A$ is an equicontinuous subset of $J(X,Y)$ then the elements $v\in A$ can be represented with $S\times T$ fixed and $\mu$ running through a norm bounded subset of the space of Radon measures on $S\times T.$

Operadores lineales integrales

Dado una aplicación lineal $\Lambda :X\to Y,$ se puede definir una forma bilineal canónica $B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y^{\prime }\right),$ llamada forma bilineal asociada en $X\times Y^{\prime },$ mediante

$B_{\Lambda }\left(x,y^{\prime }\right):=\left(y^{\prime }\circ \Lambda \right)(x).$

una aplicación continuo $\Lambda :X\to Y$ se llama integral si su forma bilineal asociada es una forma bilineal integral.​ una aplicación integral $\Lambda :X\to Y$ es de la forma, para cada $x\in X$ e $Y^{\prime }\in Y^{\prime }:$

$\left\langle y^{\prime },\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime \prime },y^{\prime }\right\rangle \operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime \prime }\right)$

para subconjuntos equicontinuos y débilmente cerrados adecuados $A^{\prime }$ y $B^{\prime \prime }$ de $X^{\prime }$ e $Y^{\prime \prime },$ respectivamente, y alguna medida positiva de radón $\mu$ de la masa total $\leq 1.$

aplicación canónico en L(X; Y)

Existe una aplicación canónico $K:X^{\prime }\otimes Y\to L(X;Y)$ que envía ${\textstyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ al aplicación lineal $K(z):X\to Y$ definido por ${\textstyle K(z)(x):=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }(x)y_{i}\in Y,}$ donde se puede demostrar que la definición de $K(z):X\to Y$ no depende de la elección particular de representación ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ de $z.$

Ejemplos

Espacio de familias sumables

Véase también: Series (mathematics)#Generalizations

En esta sección arreglamos algunos conjuntos arbitrarios (posiblemente conjunto no numerable) de $A,$ a EVT $X,$ y dejamos que ${\mathcal {F}}(A)$ sea el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de $A$ dirigidos por la inclusión de $\subseteq .$

Sea $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ una familia de elementos en un EVT $X$ y para cada subconjunto finito $H\subseteq A,$ sea ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}.}$ Llamamos a $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ summable en $X$ si el límite ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ del net $\left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}$ converge en $X$ a algún elemento (cualquier elemento de este tipo es llamada su suma). El conjunto de todas estas familias sumables es un subespacio vectorial de $X^{A}$ denotado por $S.$

Ahora definimos una topología en $S$ de una manera muy natural. Esta topología resulta ser la topología inyectiva tomada de $l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ y transferida a $S$ mediante un isomorfismo canónico del espacio vectorial (el obvio). Esto es algo común cuando se estudian los inyectivos y producto tensorial proyectivo de espacios de función/secuencia y EVT: la "forma natural" en la que uno definiría (desde cero) una topología en dicho producto tensorial es frecuentemente equivalente a la topología inyectiva o producto tensorial proyectivo.

Sea ${\mathfrak {U}}$ una base de entornos equilibradas convexas de 0 en $X$ y para cada $U\in {\mathfrak {U}},$ sea $\mu _{U}:X\to \mathbb {R}$ su Funcional de Minkowski. Para cualquier $U$ y cualquier $x=\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}\in S,$ permita

$q_{U}(x):=\sup _{x^{\prime }\in U^{\circ }}\sum _{\alpha \in A}\left|\left\langle x^{\prime },x_{\alpha }\right\rangle \right|$

donde $q_{U}$ define una seminorma en $S.$ La familia de seminormas $\left\{q_{U}:U\in {\mathfrak {U}}\right\}$ genera una topología que convierte a $S$ en un espacio localmente convexo. El espacio vectorial $S$ dotado de esta topología se denotará por $l^{1}(A,X).$​. El caso especial donde $X$ es el campo escalar se denotará por $l^{1}(A).$

Hay una incrustación canónica de espacios vectoriales $l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)$ definidos linealizando la aplicación bilineal $l^{1}(A)\times X\to l^{1}(A,E)$ definido por $\left(\left(r_{\alpha }\right)_{\alpha \in A},x\right)\mapsto \left(r_{\alpha }x\right)_{\alpha \in A}.$​

'Theorem':​ The canonical embedding (of vector spaces) $l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)$ becomes an embedding of topological vector spaces $l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}(A,E)$ when $l^{1}(A)\otimes X$ is given the injective topology and furthermore, its range is dense in its codomain. If ${\hat {X}}$ is a completion of $X$ then the continuous extension $l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)$ of this embedding $l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,X\right)\subseteq l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)$ is an isomorphism of EVTs. So in particular, if $X$ is complete then $l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ is canonically isomorphic to $l^{1}(A,E).$

Espacio de funciones vectoriales continuamente diferenciables

En todo momento, sea $\Omega$ un subconjunto abierto de $\mathbb {R} ^{n},$ donde $n\geq 1$ es un número entero y sea $Y$ un espacio vectorial topológico localmente convexo (EVT).

'Definición​ Supongamos que $p^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right)\in \Omega$ y $f:\operatorname {Dom} f\to Y$ son una función tal que $p^{0}\in \operatorname {Dom} f$ con $p^{0}$ es un punto límite de $\operatorname {Dom} f.$ Digamos que $f$ es diferenciable en $p^{0}$ si existen vectores $n$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ en $Y,$ llamados derivadas parciales de $f$, tales que

$\lim _{\stackrel {p\to p^{0},}{p\in \operatorname {domain} f}}{\frac {f(p)-f\left(p^{0}\right)-\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}-p_{i}^{0}\right)e_{i}}{\left\|p-p^{0}\right\|_{2}}}=0{\text{in }}Y$

donde $p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right).$

Naturalmente, se puede ampliar la noción de función continuamente diferenciable a funciones con valores $Y$ definidas en $\Omega .$ Para cualquier $k=0,1,\ldots ,\infty ,$ sea $C^{k}(\Omega ;Y)$ el espacio vectorial de todos los aplicaciones con valores $C^{k}$ $Y$ definidos en $\Omega$ y sea $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ el subespacio vectorial de $C^{k}(\Omega ;Y)$ que consiste de todos los aplicaciones en $C^{k}(\Omega ;Y)$ que tienen soporte compacto.

Luego se pueden definir topologías en $C^{k}(\Omega ;Y)$ y $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ de la misma manera que se definen las topologías en $C^{k}(\Omega )$ y $C_{c}^{k}(\Omega )$ para space of distributions and test functions (consulte el artículo: Differentiable vector-valued functions from Euclidean space). Todo este trabajo para ampliar la definición de diferenciabilidad y varias topologías resulta ser exactamente equivalente a simplemente tomar el producto tensorial inyectivo completo:

'Theorem'​ If $Y$ is a complete Hausdorff locally convex space, then $C^{k}(\Omega ;Y)$ is canonically isomorphic to the injective tensor product $C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$

Espacios de aplicaciones continuos desde un espacio compacto

Si $Y$ es un espacio normado y si $K$ es un conjunto compacto, entonces la norma $\varepsilon$ en $C(K)\otimes Y$ es igual a ${\textstyle \|f\|_{\varepsilon }=\sup _{x\in K}\|f(x)\|.}$​ Si $H$ y $K$ son dos espacios compactos

espacios ct, luego $C(H\times K)\cong C(H){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }C(K),$ donde este aplicación canónico es un isomorfismo de espacios de Banach.​

===Espacios de secuencias que convergen a 0===.

Si $Y$ es un espacio normado, entonces $l_{\infty }(Y)$ denota el espacio de todas las secuencias $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ en $Y$ que convergen al origen y le dan a este espacio la norma $\left\|\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\right\|:=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\|y_{i}\right\|.$ Sea $l_{\infty }$ denotar $l_{\infty }\left(\mathbb {C} \right).$ Entonces, para cualquier espacio de Banach, $Y,$ $l_{\infty }{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ es canónicamente isométricamente isomorfo a $l_{\infty }(Y).$​.

Espacio de funciones de Schwartz

Véanse también: Schwartz space y Differentiable vector-valued functions from Euclidean space.

Ahora generalizaremos el Espacio de Schwartz a funciones valoradas en un EVT. Sea ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ el espacio de todos los $f\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ tal que para todos los pares de polinomios $P$ y $Q$ en variables $n$, $\left\{P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}$ es un subconjunto acotado de $Y.$ Para generalizar la topología de Espacio de Schwartz a ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right),$ le damos a ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ la topología de convergencia uniforme sobre $\mathbb {R} ^{n}$ de las funciones $P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x),$ ya que $P$ y $Q$ varían en todos los pares posibles de polinomios en variables $n$.​

Theorem​ If $Y$ is a complete locally convex space, then ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ is canonically isomorphic to ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$

Véase también

• Espacio normado auxiliar
• Topología final
• Producto tensorial inductivo
• Integral map
• Operador nuclear
• Espacio nuclear
• Producto tensorial proyectivo
• Topological tensor product

Bibliografía

• Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773. 
• Dubinsky, Ed (1979). The structure of nuclear Fréchet spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC 5126156. 
• Grothendieck, Grothendieck (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en francés). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC 1315788. 
• Husain, Taqdir (1978). Barrelledness in topological and ordered vector spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Nlend, H (1977). Bornologies and functional analysis : introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis. Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC 2798822. 
• Nlend, H (1981). Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality. Amsterdam New York New York, N.Y: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC 7553061. 
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541. 
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250. 
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158. 

Enlaces externos

• Espacio nuclear en ncatlab

• Datos: Q1663619