Equicontinuidad

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Sean (X,\mathcal{T}) \, espacio topológico, (Y,d)\, espacio métrico, y x_0 un punto en X. Un conjunto H de funciones de X en Y se dice equicontinuo en x_0 si y solamente si para todo  r>0, \exists A entorno de x_0 tal que \forall f \in H, f(A)\subseteq  B(f (x_o),r)

Notar que, en particular, si H es equicontinuo en x_0, entonces todas las funciones que pertenecen a H son continuas en x_0.

Decimos que H es equicontinua si lo es para todo x_0 \in X .

Ejemplos[editar]

  1. Si H es una familia finita de funciones continuas, entonces es equicontinua
  2. Si (X,\mathcal{T}) \, es métrico y todas las funciones de H son Lipschitz continuas con una misma constante K, entonces H es equicontinua
  3. Si X,Y\subseteq  \mathbb{R}, todas las funciones de H son derivables, y existe una constante K>0 tal que \forall f \in H, \forall x \in X, |f'(x)|<K, entonces se cumple que todas las funciones de H son Lipschitz continuas de constante K, y por ende, H es equicontinuo.

Esta última propiedad es una de las más usadas para verificar equicontinuidad de una familia de funciones.