Simetría en física

Primera zona de Brillouin del sistema cristalino cúbico, que muestra sus etiquetas de simetría

La simetría en física​ incluye todos los rasgos de un sistema físico que exhiben propiedades de simetría; es decir, que bajo ciertas transformaciones, se mantienen invariantes con respecto a un observador en particular. Expresado de otra manera, es un rasgo físico o matemático de un sistema que no se modifica cuando se aplican ciertas transformaciones.

En matemáticas, una transformación es un operador tal que, ciertas funciones se simplifican. Por ejemplo, en aritmética, cuando se busca un algoritmo numérico, el proceso de búsqueda queda reducido a la suma de los algoritmos de cada factor.

Simetría como invariancia

La invariancia es definida matemáticamente por transformaciones que dejan magnitudes sin cambio. Por ejemplo, la distancia entre dos puntos de un sólido que se mueve pero no se deforma.​

Simetrías locales y globales

Una simetría global es aquella que incluye la totalidad de los puntos del espacio tiempo, a diferencia de una simetría local, en la que solo se hace referencia a un subconjunto de puntos.

La mayoría de las teorías físicas son descritas por operadores lagrangianos (en física, un lagrangiano es una función matemática a partir de la que se puede deducir la evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes de un sistema físico), que son invariantes bajo ciertas transformaciones. Cuando estas transformaciones son realizadas en diferentes puntos del espacio-tiempo y están relacionadas linealmente, entonces se dice que el sistema físico posee una simetría global.​

Por ejemplo, en toda teoría cuántica, la fase global de una función de onda es arbitraria y no representa algo físico. Consecuentemente, la teoría es invariante bajo un cambio global de fases (agregando una constante a la fase de todas las funciones de onda en todas partes); esto es una simetría global. En la electrodinámica cuántica, la teoría es también invariante bajo un cambio local de fase, es decir, que se puede alterar la fase de todas las funciones de onda de manera que la alteración sea diferente en cada punto del espacio-tiempo. Esto es una simetría local.

Simetrías continuas

Matemáticamente, las simetrías continuas son descritas por funciones continuas o continuamente diferenciables. Una subclase importante de las simetrías continuas en la física son las simetrías espacio-temporales.

La simetría espacio-tiempo se refiere a aspectos del espacio-tiempo (ntidad geométrica en la cual se desarrollan todos los eventos físicos del Universo, de acuerdo con la teoría de la relatividad y otras teorías físicas) que pueden ser descritos tal que exhiben una forma de simetría.​

• Translación en el tiempo : Un sistema físico puede tener los mismos rasgos sobre cierto intervalo de tiempo, lo que expresado matemáticamente implica una invariancia con respecto a transformaciones para cualquier valor real del parámetro t (tiempo) en un intervalo dado. Por ejemplo, en la mecánica clásica, una partícula solamente afectada por la gravedad tendrá una determinada energía potencial gravitacional cuando está suspendida a una altura h por encima de la superficie terrestre. Asumiendo que no hay cambio en la altura de la partícula, esta será la energía potencial gravitatoria de la partícula en cualquier instante. En otras palabras, si se considera el estado de la partícula en cualquier instante, la energía potencial gravitacional total de la partícula se preserva.
• Traslación espacial : Estas simetrías espaciales son representadas por transformaciones de la posición, y describen aquellas situaciones en las que algunas propiedades de un sistema no se modifican debido a un cambio de posición continuo. Por ejemplo, la temperatura en una habitación puede ser independiente de dónde esté localizado el termómetro en la habitación.
• Rotación espacial : Estas simetrías espaciales son clasificadas como rotaciones propias y rotaciones impropias. Las primeras son simplemente las rotaciones ordinarias, que matemáticamente son representadas por matrices cuadradas de determinante uno; mientras que las segundas son representadas por matrices cuadradas de determinante -1, y consisten de una rotación propia combinada con una reflexión espacial (inversión). Por ejemplo, una esfera tiene simetría de rotación propia.
• Transformaciones de Poincaré: Son simetrías espacio-temporales que preservan las distancias en el espacio-tiempo de Minkowski. Por ejemplo, las isometrías en el espacio de Minkowski, que son principalmente estudiadas en la relatividad especial. A aquellas isometrías que dejan el origen fijo se las denomina transformaciones de Lorentz, dando lugar a la simetría conocida como covariancia de Lorentz.
• Simetrías proyectivas: Son simetrías espacio-temporales que preservan la estructura geodésica del espacio-tiempo (una geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie). Estas simetrías pueden ser definidas en cualquier variedad lisa (un tipo especial de variedad topológica, a la que se pueden extender las nociones del cálculo diferencial habituales, en donde todas las aplicaciones de transición son suaves). Encuentran numerosas aplicaciones en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general.
• Transformaciones de inversión: Son simetrías espacio-temporales que generalizan las transformaciones de Poincaré para incluir otras transformaciones biyectivas en las coordenadas espacio-tiempo. Las longitudes no son invariantes bajo las transformaciones de inversión, pero si se conserva la doble razón entre cuartetos de puntos.

Generalmente las simetrías del espacio-tiempo son descritas por campos de vectores uniformes en variedades suaves. Las aplicaciones diferenciables subyacentes asociadas con los campos vectoriales corresponden más directamente con las simetrías físicas, pero los campos vectoriales por ellos mismos son más comúnmente usados cuando se clasifican las simetrías de un sistema físico.

Algunos de los más importantes campos vectoriales son los campos vectoriales de Killing, que son aquellas simetrías espacio-tiempo en las que se preserva la estructura métrica de una variedad subyacente. En términos generales, los campos vectoriales de Killing preservan la distancia entre dos puntos cualesquiera de la variedad y casi siempre son isometrías.

Un vector de Killing es un vector definido sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana que define un grupo uniparamétrico de isometrías.

Simetrías discretas

Una simetría discreta es una simetría que describe cambios no continuos en un sistema. Por ejemplo, un cuadrado posee simetría discreta rotacional, tanto que solo rotaciones múltiples por los lados derechos del cuadrado conservarán su apariencia original. Generalmente se involucran cambios, a los cuales se les llama reflexiones o intercambios.

• Tiempo revertido: muchas leyes de la Física describen verdaderos fenómenos cuando la dirección del tiempo es revertida. Matemáticamente, esto se representa por la transformación T. Aunque es contextos restringidos se puede encontrar esta simetría, el universo en sí no muestra una simetría bajo el tiempo revertido, de acuerdo a la segunda ley de la termodinámica.
• Inversión espacial: estas son representadas por las transformaciones de la forma P e indican la invariancia del sistema cuando las coordenadas son “invertidas”. En física, una transformación de paridad es el cambio simultáneo en el signo de toda coordenada espacial. Una representación de P en el espacio euclídeo de 3 dimensiones sería una matriz P = diag (-1,-1,-1). Más en general, cualquier matriz ortogonal de determinante -1, corresponde a una rotación más la paridad.
• Reflexión de desliz: estas son representadas por la composición de una translación y una reflexión. Esas simetrías ocurren en algunos cristales y en algunas simetrías planas.

Un tipo de simetría conocida como súper-simetría ha sido utilizada para intentar hacer avances en el modelo estándar (Teoría física que explica ciertos fenómeno en partículas fundamentales). Aun no ha sido probada experimentalmente.

Matemáticas de la simetría física

Las transformaciones que describen simetrías físicas típicas forman un grupo matemático. La teoría de grupo (En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos [En álgebra abstracta, un grupo es un conjunto en el que se define una operación binaria ( i.e. un magma), que satisface ciertos axiomas]) es una área importante de la matemática para los físicos.

Simetrías continuas son especificadas matemáticamente por grupos continuos (Llamados Grupo de Lie). Muchas simetrías físicas son isometrías y están especificadas por Simetría de Grupos. Algunas veces este término es usado para tipos más generales de simetrías. El conjunto de todas las rotaciones propias a través de cualquier eje de una esfera forma un grupo de Lie llamado, Grupo Ortogonal. El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forman un grupo llamado, Grupo de Lorentz.

Las simetrías discretas están descritas por los Grupos Discretos. También, la reducción por simetría de la energía funciona bajo la acción de un grupo y la Ruptura espontánea de simetría electro débil (Concepto de una teoría física que unifica la interacción débil y el electromagnetismo, dos de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza [Existen cuatro tipos de interacciones fundamentales: interacción nuclear fuerte, interacción nuclear débil, interacción electromagnética e interacción gravitatoria.] ) de las transformaciones de grupos simétricos parece dilucidar temas en la física de partículas. Por ejemplo, la unificación del electromagnetismo y la interacción débil en la cosmología física.

Las propiedades simétricas de un sistema físico están íntimamente relacionadas con las leyes de conservación que caracterizan al sistema. El teorema de Noether da una precisa descripción de esta relación. El teorema dice que cada simetría de un sistema físico implica que alguna propiedad física del sistema se conserva, y por el contrario, que cada magnitud conservada tiene una correspondiente simetría. Por ejemplo, la isometría del espacio da nacimiento a la conservación lineal de momentum, y la isometría del tiempo da nacimiento a la conservación de la energía.

Bibliografía

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• Datos: Q1455736