Homotopía

Los dos caminos en líneas punteadas que se muestran arriba son homótopos en relación con sus extremos. La animación muestra una posible homotopía entre ellos.

En topología, y más precisamente en topología algebraica, dos aplicaciones continuas de un espacio topológico en otro se dicen homótopas (del griego homos = mismo y topos = lugar) si una de ellas puede "deformarse continuamente" en la otra.

Definición formal

Dos aplicaciones continuas $f,g:X\to Y$ se dicen homótopas si existe otra aplicación (continua también) $H:X\times [0,1]\to Y$ tal que:

$H(x,0)=f(x)\,$

$H(x,1)=g(x)\,$

Un ejemplo importante son las diferentes clases (de homotopía) de mapeos del círculo a un espacio $X$

$S^{1}\to X\,$

la estructura resultante es el importantísimo grupo fundamental.

• Si dos aplicaciones f y g son homótopas, se escribe f ≃ g; lo que significa esta relación es efectivamente una relación de equivalencia sobre el conjunto de aplicaciones continuas de X en Y, Las clases de equivalencia se denominan clases de homotopía de aplicaciones.​

Tipo homotópico

Se dice que dos espacios X, Y tienen el mismo tipo de homotopía, si existe un par de aplicaciones $X{\stackrel {f}{\to }}Y$ y $Y{\stackrel {g}{\to }}X$ tales que $g\circ f$ y $f\circ g$ son homótopas a $Id_{X}$ y $Id_{Y}$ respectivamente.

Suele ser utilizado el símbolo: $f\simeq g$, para indicar que los objetos f y g son homótopos.

Como ejemplos, una 1-esfera y un toro sólido tienen el mismo tipo de homotopía. Un espacio topológico que tiene el mismo tipo de homotopía que un conjunto unitario se dice contráctil.

Variantes

Homotopía relativa

Para poder definir el grupo fundamental, se precisa de la noción de homotopía relativa a un sibespacio. Las mismas son homotopías que mantienen fijos los elementos del subespacio. Formalmente: si f y g son mapas contínuos de X a Y y K es un subconjunto de X, entonces se dice que f y g son homotópicos relativos con K si es que existe una homotopía H : X × [0, 1] → Y entre f y g tal que H(k, t) = f(k) = g(k) para todo all k ∈ K y t ∈ [0, 1]. También, si g es una retracción de X a K y f es el mapa identidad, ello es conocido como una fuerte retracción deformada de X a K. Cuando K es un punto, se utiliza el término fomotopía puntual.

Isotopía

El nudo no es equivalente al nudo de trébol, ya que uno no puede deformarse en el otro a través de un camino continuo de homeomorfismos del espacio ambiental. Por lo tanto, no son isotópicos ambientales.

In case the two given continuous functions f and g from the topological space X to the topological space Y are embeddings, one can ask whether they can be connected 'through embeddings'. This gives rise to the concept of isotopy, which is a homotopy, H, in the notation used before, such that for each fixed t, H(x, t) gives an embedding.​

A related, but different, concept is that of ambient isotopy.

Requiring that two embeddings be isotopic is a stronger requirement than that they be homotopic. For example, the map from the interval [−1, 1] into the real numbers defined by f(x) = −x is not isotopic to the identity g(x) = x. Any homotopy from f to the identity would have to exchange the endpoints, which would mean that they would have to 'pass through' each other. Moreover, f has changed the orientation of the interval and g has not, which is impossible under an isotopy. However, the maps are homotopic; one homotopy from f to the identity is H: [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] given by H(x, y) = 2yx − x.

Two homeomorphisms (which are special cases of embeddings) of the unit ball which agree on the boundary can be shown to be isotopic using Alexander's trick. Por esta razón, el mapa del disco unitario en R² definido por f(x, y) = (−x, −y) es isotópico con una rotación de 180-grados alrededor del origen, y por lo tanto el mapa de identidad y f son isotópicos porque están relacionados mediante rotaciones.

En el ámbito de la topología geométrica; por ehe<jemplo en la teoría de nudo— la idea de isotopía es utilizada para construir relaciones de equivalencia. Por ejemplo, ci<uando es que dos nudos deben ser considerados el mismo? Si se tiene n dos nudos, K₁ y K₂, en un espacio tridimenasional. Un nudo es una incrustación de un espacio unidimensional, the "loop of string" (o el círculo), en este espacio, and this embedding gives a homeomorphism between the circle and its image in the embedding space. La idea intuitiva detrás de la noción de equivalencia de nudo es que se puede deformar de una incrustación a otra a través de un camino de incrustaciones: una función contínua que comienza en t = 0 provee la incrustación K₁, y finaliza en t = 1 proveyendo la incurstación K₂, y todos los valores intermedios corresponden a incrustaciones. Ello es la definición de isotopía. An ambient isotopy, studied in this context, is an isotopy of the larger space, considered in light of its action on the embedded submanifold. Knots K₁ y K₂ are considered equivalent when there is an ambient isotopy which moves K₁ a K₂. Esta es la definición apropiada en la categoría topológica.

Similar language is used for the equivalent concept in contexts where one has a stronger notion of equivalence. For example, a path between two smooth embeddings is a smooth isotopy.

Timelike homotopy

On a Lorentzian manifold, certain curves are distinguished as timelike (representing something that only goes forwards, not backwards, in time, in every local frame). A timelike homotopy between two timelike curves is a homotopy such that the curve remains timelike during the continuous transformation from one curve to another. No closed timelike curve (CTC) on a Lorentzian manifold is timelike homotopic to a point (that is, null timelike homotopic); such a manifold is therefore said to be multiply connected by timelike curves. A manifold such as the 3-sphere can be simply connected (by any type of curve), and yet be timelike multiply connected.​

Usos

Teorema fundamental del álgebra

La homotopía es la fuente de muchas demostraciones. Un ejemplo famoso es el Teorema fundamental del álgebra, que indica que cualquier polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz en ℂ⁴ .

Para demostrarlo, consideramos un polinomio unitario P que no tiene raíz en ℂ y probaremos que su grado n es cero. Para cada r real positivo , definimos el bucle α_r mediante :

$\forall t\in [0,1]\quad \alpha _{r}(t)={\frac {P(r\exp(2\pi \mathrm {i} t))/P(r)}{|P(r\exp(2\pi \mathrm {i} t))/P(r)|}}.$

Por definición, α_r es un bucle definido en el círculo. Si r es igual a 0, obtenemos el bucle constante igual a 1. Como la función que asocia α_r( t ) con r y t es continua, todos los bucles α_r son homotópicos en un punto.

Sea (a_j) la secuencia de los coeficientes de P y ρ un número real mayor que 1 y que la suma Σ|a_j| de módulos de coeficientes de P . Si z es un complejo de módulo ρ,

$(1)\quad |z^{n}|=\rho ^{n}>(|a_{0}|+\cdots +|a_{n-1}|)\rho ^{n-1}\geq |a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}z^{n-1}|.$

Definimos el polinomio P_s y el bucle β_s mediante:

$P_{s}(z)=s(a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}z^{n-1})+z^{n},\quad \forall t\in [0,1]\quad \beta _{s}(t)={\frac {P_{s}(\rho \exp(2\pi \mathrm {i} t))/P_{s}(\rho )}{|P_{s}(\rho \exp(2\pi \mathrm {i} t))/P_{s}(\rho )|}}.$

Las desigualdades (1) muestran que si | s | ≤ 1, el polinomio P_s no admite una raíz de módulo ρ por lo que el bucle β_s está bien definido. El bucle β₀ realiza n vueltas alrededor del origen, según el párrafo anterior. Dado que la función que asocia β _s(t) con s y t es continua, este bucle β₀ es homotopico a β₁ = α_ρ. Como este último es homotópico en un punto, es decir que hace 0 vueltas alrededor del origen, n es igual a 0.

Grupo fundamental

Si X es un espacio topológico, podemos componer dos bucles de la misma base p (es decir, del mismo origen y del mismo final p ) α₁ y α₂ construyendo un bucle que primero atraviese la trayectoria de α₁ , luego el de α₂. Esta composición es compatible con la relación de equivalencia que es homotópica a. Cociente de esta relación de equivalencia, obtenemos una estructura de grupo denominada grupo fundamental o grupo de Poincaré.​ Esta noción se generaliza y permite definir una infinidad degrupos de homotopía.

Este grupo está en el origen de las manifestaciones. Uno de los más famosos es el del Teorema del punto fijo de Brouwer en la dimensión dos, que indica que cualquier mapa continuo del disco en sí mismo admite un punto fijo.

Bibliografía

• Weisstein, Eric W. «Homotopía». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Homotopy&oldid=18180», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

Enlaces externos

• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Homotopía.

• Datos: Q746083
• Multimedia: Homotopy / Q746083