Función definida positiva

Plantilla:Short description En matemáticas, una función definida positiva es, según el contexto, cualquiera de los dos tipos de function.

Uso más común

Una función definida positiva de una variable real x es una función complex con valor $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ tal que para cualquier número real x₁, …, x_n la n  × n matrix

$A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})$

es positive semi-definite (que requiere que A sea Hermitian; por lo tanto, f(−x) es el conjugado (matemática) de f(x)).

En particular, es necesario (pero no suficiente) que

$f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)$

(Estas desigualdades se derivan de la condición para n = 1, 2).

Una función es semidefinida negativa si se invierte la desigualdad. Una función es definida si la desigualdad débil se reemplaza por una desigualdad fuerte (<, > 0).

Ejemplos

Si $(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ es un espacio prehilbertiano real, entonces $g_{y}\colon X\to \mathbb {C}$, $x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )$ es definido positivo para todo $y\in X$: para todo $u\in \mathbb {C} ^{n}$ y todo $x_{1},\ldots ,x_{n}$ tenemos

$u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.$

Como las combinaciones lineales no negativas de funciones definidas positivas son nuevamente definidas positivas, el cosine function es definido positivo como una combinación lineal no negativa de las funciones anteriores:

$\cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).$

Uno puede crear una función definida positiva $f\colon X\to \mathbb {C}$ fácilmente a partir de una función definida positiva $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ para cualquier espacio vectorial $X$: elija un linear function $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ y defina $f^{*}:=f\circ \phi$. Después

$u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,$

donde ${\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}$ donde ${\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})$ son distintos ya que $\phi$ es linealidad.​

Teorema de Bochner

La definición positiva surge naturalmente en la teoría de Transformada de Fourier; se puede ver directamente que para ser positivo-definido es suficiente que f sea la transformada de Fourier de una función g en la recta real con g(y) ≥ 0.

El resultado inverso es Bochner's theorem, indicando que cualquier función definida positiva continuous en la línea real es la transformada de Fourier de un measure (positivo).​

Aplicaciones

En estadística, y especialmente en Estadística bayesiana, el teorema se suele aplicar a funciones reales. Por lo general, se toman medidas escalares "n" de algún valor escalar en puntos de $R^{d}$ y se requiere que los puntos que están cerca entre sí tengan medidas altamente correlacionadas. En la práctica, se debe tener cuidado de asegurarse de que la matriz de covarianza resultante (una matriz n × n) sea siempre definida positiva. Una estrategia es definir una matriz de correlación A que luego se multiplica por un escalar para dar un matriz de covarianza: esto debe ser positivo-definido. El teorema de Bochner establece que si la correlación entre dos puntos depende únicamente de la distancia entre ellos (a través de la función f), entonces la función f debe ser definida positiva para garantizar la matriz de covarianza A es positivo-definido. Véase Krigeaje.

En este contexto, la terminología de Fourier normalmente no se usa y en su lugar se establece que f(x) es el characteristic function de un simetría probability density function (PDF).

Generalización

Uno puede definir funciones definidas positivas en cualquier dualidad de Pontriaguin; El teorema de Bochner se extiende a este contexto. Las funciones positivas definidas en grupos ocurren naturalmente en el teoría de representación de grupos en Espacio de Hilbert (es decir, la teoría de unitary representation).

Definición alternativa

La siguiente definición entra en conflicto con la anterior.

En sistemas dinámicos, una función real f con valor continuously differentiable puede llamarse definida positiva en un neighborhood D del origen si $f(0)=0$ y $f(x)>0$ for every non-zero $x\in D$.​​ En física, el requisito de que $f(0)=0$ puede eliminarse (véase, por ejemplo, Corney y Olsen​).

Véase también

• Núcleo positivo definido

Bibliografía

• Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
• Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Función definida positiva», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

• Datos: Q2293170