Varianza de Allan

La forma más fácil de examinar un reloj es compararlo con un reloj de referencia mucho más preciso. Durante un intervalo de tiempo τ, medido por el reloj de referencia, el reloj bajo prueba avanza en τy, donde y es la frecuencia media (relativa) del reloj durante ese intervalo. Si medimos dos intervalos consecutivos como se muestra, podemos obtener un valor de (y - y′)² - un valor menor indica un reloj más estable y preciso. Si repetimos este procedimiento muchas veces, el valor medio de (y - y′)² es igual al doble de la varianza de Allan (o desviación de Allan al cuadrado) para el tiempo de observación τ.

La varianza de Allan (abreviadamente en inglés, AVAR,), también conocida como varianza de dos muestras, es una medida de estabilidad de la frecuencia en relojes, osciladores y amplificadores. Lleva el nombre de David W. Allan y se expresa matemáticamente como $\sigma _{y}^{2}(\tau )$.

La desviación de Allan (abreviado en inglés, ADEV), también conocida como sigma-tau, es la raíz cuadrada de la varianza de Allan, $\sigma _{y}(\tau )$.

La varianza de M muestras es una medida de la estabilidad de la frecuencia utilizando M muestras, el tiempo T entre las mediciones y el tiempo de observación $\tau$. La varianza de M muestras se expresa como

$\sigma _{y}^{2}(M,T,\tau ).$

La varianza de Allan tiene por objeto estimar la estabilidad debida a los procesos de ruido y no la de los errores sistemáticos o las imperfecciones, como la deriva de la frecuencia o los efectos de la temperatura. La varianza Allan y la desviación Allan describen la estabilidad de la frecuencia. Véase también el apartado Interpretación del valor más abajo.

También existen diferentes adaptaciones o alteraciones de la varianza de Allan, especialmente la varianza de Allan modificada MAVAR o MVAR, la varianza total y la varianza de Hadamard. También existen variantes de la estabilidad temporal, como la desviación temporal (TDEV) o la varianza temporal (TVAR). La varianza de Allan y sus variantes han demostrado su utilidad fuera del ámbito de la medición del tiempo y son un conjunto de herramientas estadísticas mejoradas que se utilizan siempre que los procesos de ruido no son incondicionalmente estables, por lo que existe una derivada.

La varianza general de M muestras sigue siendo importante, ya que permite determinar el tiempo muerto (el tiempo después de cada evento durante el cual el sistema no puede registrar otro evento en las mediciones), y las funciones de sesgo permiten la conversión en valores de varianza de Allan. Sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones, el caso especial de 2 muestras, o "varianza de Allan" con $T=\tau$ es el de mayor interés.

Gráfica ejemplo de la desviación de Allan de un reloj. Con un tiempo de observación τ muy corto, la desviación de Allan es alta debido al ruido. Con un tiempo τ más largo, disminuye porque el ruido se promedia. A un tiempo τ aún mayor, la desviación de Allan comienza a aumentar de nuevo, lo que sugiere que la frecuencia del reloj se desvía gradualmente debido a los cambios de temperatura, el envejecimiento de los componentes u otros factores similares. Las barras de error aumentan con τ simplemente porque se tarda mucho en obtener muchos puntos de datos para τ grandes.

Antecedentes

Al investigar la estabilidad de los osciladores de cristal y los relojes atómicos, se descubrió que no tenían un ruido de fase compuesto únicamente por ruido blanco, sino también por ruido de frecuencia de parpadeo. Estas formas de ruido se convierten en un reto para las herramientas estadísticas tradicionales, como la desviación estándar, ya que el estimador no converge. Por tanto, se dice que el ruido es divergente. Los primeros esfuerzos por analizar la estabilidad incluyeron tanto análisis teóricos como mediciones prácticas.​​

Una importante consecuencia colateral de contar con estos tipos de ruido era que, al no coincidir los distintos métodos de medición entre sí, no se podía conseguir el aspecto clave de la repetibilidad de una medición. Esto limita la posibilidad de comparar fuentes y hacer especificaciones significativas para exigir a los proveedores. Esencialmente, todas las formas de uso científico y comercial se limitaron entonces a mediciones dedicadas, que se espera que capten la necesidad de esa aplicación.

Para abordar estos problemas David Allan introdujo la varianza de M muestras e (indirectamente) la varianza de dos muestras.​ Aunque la varianza de dos muestras no permitía distinguir completamente todos los tipos de ruido, proporcionaba un medio para separar de forma significativa muchas formas de ruido para las series temporales de mediciones de fase o frecuencia entre dos o más osciladores. Allan proporcionó un método para convertir cualquier varianza de M muestras en cualquier varianza de N muestras a través de la varianza común de dos muestras, haciendo así comparables todas las varianzas de M muestras. El mecanismo de conversión también demostró que la varianza de M muestras no converge para valores grandes de M, lo que las hace menos útiles. El IEEE identificó posteriormente la varianza de 2 muestras como la medida preferida.​

Una de las primeras preocupaciones estaba relacionada con los instrumentos de medición de tiempo y frecuencia que tenían un tiempo muerto entre las mediciones. Estas series de mediciones no formaban una observación continua de la señal y, por tanto, introducían un sesgo sistemático en la medición. Se puso mucho cuidado en la estimación de estos sesgos. La introducción de los contadores de tiempo muerto cero eliminó esta necesidad, pero las herramientas de análisis de los sesgos han resultado útiles.

Otro aspecto que preocupaba al principio estaba relacionado con la forma en que el ancho de banda del instrumento de medición influiría en la medición, de manera que era necesario tomar nota. Más tarde se comprobó que cambiando algorítmicamente la observación $\tau$ sólo los valores bajos de $\tau$ se verían afectados, mientras que los valores más altos no lo harían. El cambio de $\tau$ se hace dejando que sea un múltiplo entero $n$ de la base de tiempo de medición $\tau _{0}$:

$\tau =n\tau _{0}.$

La física de los osciladores de cristal fue analizada por D. B. Leeson,​ y el resultado se conoce ahora como ecuación de Leeson. La retroalimentación en el oscilador hará que el ruido blanco y el ruido de parpadeo del amplificador de retroalimentación y del cristal se conviertan en los ruidos de color de frecuencia de ruido blanco $f^{-2}$ y de frecuencia de ruido de parpadeo $f^{-3}$ respectivamente. Estas formas de ruido tienen el efecto de que el estimador de varianza estándar no converge al procesar las muestras de error temporal. Esta mecánica de los osciladores de retroalimentación era desconocida cuando se iniciaron los trabajos sobre la estabilidad de los osciladores, pero fue presentada por Leeson al mismo tiempo que el conjunto de herramientas estadísticas fue puesto a disposición por David W. Allan. Para una presentación más completa del efecto Leeson, véase la literatura moderna sobre el ruido de fase.​

Interpretación del valor

La varianza de Allan se define como la mitad de la media temporal de los cuadrados de las diferencias entre las lecturas sucesivas de la desviación de la frecuencia muestreada a lo largo del periodo de muestreo. La varianza de Allan depende del período de tiempo utilizado entre las muestras, por lo tanto, es una función del período de muestreo, comúnmente denotado como $\tau$, al igual que la distribución que se está midiendo, y se muestra como un gráfico en lugar de un solo número. Una varianza Allan baja es una característica de un reloj con buena estabilidad a lo largo del periodo medido.

La desviación de Allan se utiliza ampliamente para las gráficas (convencionalmente en formato log-log) y la presentación de los números. Se prefiere, ya que da la estabilidad de la amplitud relativa, lo que permite una fácil comparación con otras fuentes de error.

Una desviación de Allan de 1,3×10^-9 en un tiempo de observación de 1 s (es decir, $\tau$ = 1 s) debe interpretarse como la existencia de una inestabilidad en la frecuencia entre dos observaciones separadas por 1 segundo con un valor medio cuadrático relativo (RMS) de 1,3×10^-9. Para un reloj de 10 MHz, esto equivaldría a un movimiento RMS de 13 mHz. Si se necesita la estabilidad de fase de un oscilador, hay que consultar y utilizar las variantes de desviación temporal.

Se puede convertir la varianza de Allan y otras varianzas del dominio del tiempo en medidas del dominio de la frecuencia de la estabilidad del tiempo (fase) y de la frecuencia.​

Definiciones

Varianza de M muestras

La varianza de M muestras se define​ (aquí en una forma de notación modernizada) como

$\sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {1}{M-1}}\left\{\sum _{i=0}^{M-1}\left[{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\right]^{2}-{\frac {1}{M}}\left[\sum _{i=0}^{M-1}{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\right]^{2}\right\},$

donde $x(t)$ es la lectura del reloj (en segundos) medida en el momento $t$, o con la serie temporal de frecuencia media fraccionaria

$\sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {1}{M-1}}\left\{\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}^{2}-{\frac {1}{M}}\left[\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right\},$

donde $M$ es el número de muestras de frecuencia utilizadas en la varianza, $T$ es el tiempo entre cada muestra de frecuencia, y $\tau$ es la duración de cada estimación de frecuencia.

Un aspecto importante es que la varianza de $M$ muestras puede incluir el tiempo muerto dejando que el tiempo $T$ sea diferente al de $\tau$.

Varianza de Allan

La varianza de Allan se define como

$\sigma _{y}^{2}(\tau )=\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle ,$

donde $\langle \dotsm \rangle$ denota valor esperado. Esto se puede expresar convenientemente como

$\sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}\right)^{2}\right\rangle ,$

donde $\tau$ es el período de observación, e ${\bar {y}}_{n}$ es la enésima frecuencia fraccionaria media a lo largo del tiempo de observación $\tau$.

Las muestras se toman sin tiempo muerto entre ellas, lo que se consigue dejando

$T=\tau .$

Desviación de Allan

Al igual que la desviación estándar y la varianza, la desviación de Allan se define como la raíz cuadrada de la varianza de Allan:

$\sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.$

Definiciones de apoyo

Modelo de oscilador

Se supone que el oscilador analizado sigue el modelo básico de

$V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).$

Se supone que el oscilador tiene una frecuencia nominal de $\nu _{\text{n}}$ dada en ciclos por segundo (unidad del SI: hertz). La frecuencia angular nominal $\omega _{\text{n}}$ (en radianes por segundo) viene dada por

$\omega _{\text{n}}=2\pi \nu _{\text{n}}.$

La fase total puede separarse en un componente perfectamente cíclico $\omega _{\text{n}}t$ junto con un componente fluctuante $\varphi (t)$:

$\Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).$

Error temporal

La función de error temporal x(t) es la diferencia entre el tiempo nominal esperado y el tiempo normal real:

$x(t)={\frac {\varphi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}={\frac {\Phi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}-t=T(t)-t.$

Para los valores medidos se define una serie de errores temporales TE(t) a partir de la función temporal de referencia T_ref(t) como

$TE(t)=T(t)-T_{\text{ref}}(t).$

Función de frecuencia

La función de frecuencia $\nu (t)$ es la frecuencia a lo largo del tiempo, definida como

$\nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.$

Frecuencia fraccionaria

La frecuencia fraccionaria y(t) es la diferencia normalizada entre la frecuencia $\nu (t)$ y la frecuencia nominal $\nu _{\text{n}}$:

$y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.$

Frecuencia fraccionaria media

La frecuencia fraccionaria media se define como

${\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},$

donde la media se toma sobre el tiempo de observación $\tau$, y(t) es el error de frecuencia fraccional en el tiempo t, y $\tau$ es el tiempo de observación.

Como y(t) es la derivada de x(t), podemos reescribirla sin pérdida de generalidad como

${\bar {y}}(t,\tau )={\frac {x(t+\tau )-x(t)}{\tau }}.$

Estimadores

Esta definición se basa en el valor estadístico esperado, que se integra en un tiempo infinito. La situación en el mundo real no permite este tipo de series temporales, en cuyo caso es necesario utilizar un estimador estadístico en su lugar. Se presentarán y discutirán varios estimadores diferentes.

Convenciones

• El número de muestras de frecuencia en una serie de frecuencia fraccionaria se denota con M.
• El número de muestras de error temporal en una serie de error temporal se denota con N. La relación entre el número de muestras de frecuencia fraccionaria y la serie de errores temporales se fija en la relación

  $N=M+1.$

• Para las series de muestras de errores temporales, x_i se refiere a la muestra i de la función de tiempo continuo x(t) dada por

  $x_{i}=x(iT),$

  donde T es el tiempo entre mediciones. Para la varianza de Allan, el tiempo que se utiliza tiene T ajustado al tiempo de observación τ. La serie de muestras de errores temporales permite que N denote el número de muestras (x₀ ... x_N-1) en la serie. La convención tradicional lleva el índice desde 1 hasta N en lugar de ir desde 0 hasta "N-1"
• Para las series muestrales de Frecuencia fraccionaria media, ${\bar {y}}_{i}$ se refiere a la muestra i de la función continua de frecuencia fraccionaria media y(t) dada por

  ${\bar {y}}_{i}={\bar {y}}(Ti,\tau ),$

  lo que da

  ${\bar {y}}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }y(iT+t_{v})\,dt_{v}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}.$

  Para el supuesto de que T sea τ se convierte en

  ${\bar {y}}_{i}={\frac {x_{i+1}-x_{i}}{\tau }}.$

  La serie de muestras de Frecuencias fraccionarias medias deja que M denote el número de muestras (${\bar {y}}_{0}\ldots {\bar {y}}_{M-1}$) en la serie. La convención tradicional lleva el índice desde 1 hasta M. Como abreviatura, la Frecuencia fraccionaria media suele escribirse sin la barra de media encima. Sin embargo, esto es formalmente incorrecto, ya que la frecuencia fraccionaria y la frecuencia fraccionaria media son dos funciones diferentes. Un instrumento de medición capaz de producir estimaciones de frecuencia sin tiempo muerto entregará en realidad una serie temporal de frecuencia media, que sólo necesita ser convertida en frecuencia fraccionaria media y puede entonces ser utilizada directamente.
• El tiempo entre las mediciones se denota con T, que es la suma del tiempo de observación τ y el tiempo muerto.

Estimadores de $\tau$ fijo

Un primer estimador sencillo sería traducir directamente la definición en

$\sigma _{y}^{2}(\tau ,M)={\text{AVAR}}(\tau ,M)={\frac {1}{2(M-1)}}\sum _{i=0}^{M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},$

o para las series temporales:

$\sigma _{y}^{2}(\tau ,N)={\text{AVAR}}(\tau ,N)={\frac {1}{2\tau ^{2}(N-2)}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.$

Sin embargo, estas fórmulas sólo proporcionan el cálculo para el caso $\tau =\tau _{0}$. Para calcular para un valor diferente de $\tau$, es necesario proporcionar una nueva serie temporal.

Estimadores $\tau$ de variables no solapadas

Si se toma la serie temporal y se salta más allá de n - 1 muestras, se obtendría una nueva serie temporal (más corta) con $\tau _{0}$ como tiempo entre las muestras adyacentes, para la que se podría calcular la varianza de Allan con los estimadores simples. Éstos podrían modificarse para introducir la nueva variable n, de modo que no habría que generar una nueva serie temporal, sino que podría reutilizarse la serie temporal original para diversos valores de n. Los estimadores se convierten en

$\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)={\text{AVAR}}(n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}\left({\bar {y}}_{ni+n}-{\bar {y}}_{ni}\right)^{2}$

con $n\leq M-1$

y para la serie temporal:

$\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)={\text{AVAR}}(n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}\left({\frac {N-1}{n}}-1\right)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}\left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}\right)^{2}$

con $n\leq {\frac {N-1}{2}}$

Estos estimadores tienen un inconveniente importante, ya que dejan caer una cantidad significativa de datos de la muestra, ya que sólo se utiliza 1/n de las muestras disponibles.

Estimadores $\tau$ de variables superpuestas

Una técnica presentada por J. J. Snyder​ proporcionaba una herramienta mejorada, ya que las mediciones se superponían en n series superpuestas de la serie original. Howe, Allan y Barnes​ introdujeron el estimador de varianza de Allan superpuesto, que puede demostrarse que es equivalente a promediar las muestras de tiempo o de frecuencia normalizada en bloques de n muestras antes del procesamiento. El predictor resultante es

$\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)={\text{AVAR}}(n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},$

o, para la serie temporal:

$\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)={\text{AVAR}}(n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i})^{2}.$

Los estimadores solapados tienen un rendimiento muy superior al de los estimadores no solapados a medida que n aumenta y la serie temporal es de longitud moderada. Los estimadores solapados han sido aceptados como los estimadores de varianza de Allan preferidos en las normas IEEE​, UIT-T​ y ETSI​ para mediciones comparables, como las necesarias para la calificación de las telecomunicaciones.

Varianza de Allan modificada

Para solucionar la incapacidad de separar la modulación de fase blanca de la modulación de fase de parpadeo utilizando los estimadores de varianza de Allan tradicionales, un filtrado algorítmico reduce el ancho de banda en n. Este filtrado proporciona una modificación a la definición y a los estimadores y ahora se identifica como una clase de varianza separada llamada varianza Allan modificada. La medida de la varianza de Allan modificada es una medida de estabilidad de la frecuencia, al igual que la varianza de Allan.

Estimadores de estabilidad temporal

A partir de la desviación Allan modificada (MDEV) puede calcularse una medida estadística de estabilidad temporal ($\sigma _{x}$), que suele denominarse desviación temporal (TDEV). La TDEV se basa en la MDEV en lugar de la desviación de Allan original, porque la MDEV puede discriminar entre la modulación de fase (PM) blanca y la de parpadeo. A continuación se presenta la estimación de la varianza temporal basada en la varianza de Allan modificada:

$\sigma _{x}^{2}(\tau )={\frac {\tau ^{2}}{3}}{\bmod {\sigma }}_{y}^{2}(\tau ),$

y de forma similar para la desviación modificada de Allan a la desviación temporal:

$\sigma _{x}(\tau )={\frac {\tau }{\sqrt {3}}}{\bmod {\sigma }}_{y}(\tau ).$

La TDEV se normaliza de forma que sea igual a la desviación clásica para el PM blanco para la constante de tiempo $\tau =\tau _{0}$. Para entender el factor de escala de normalización entre las medidas estadísticas, la siguiente es la regla estadística pertinente: Para variables aleatorias independientes X e Y, la varianza ($\sigma _{z}^{2}$) de una suma o diferencia (z = x - y) es la suma cuadrada de sus varianzas ($\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}$). La varianza de la suma o diferencia (y = x_2τ - x_τ) de dos muestras independientes de una variable aleatoria es el doble de la varianza de la variable aleatoria ($\sigma _{y}^{2}=2\sigma _{x}^{2}$). El MDEV es la segunda diferencia de las medidas de fase independientes (x) que tienen una varianza ($\sigma _{x}^{2}$). Como el cálculo es la doble diferencia, que requiere tres mediciones de fase independientes (x_2τ - 2x_τ + x), la varianza de Allan modificada (MVAR) es tres veces las varianzas de las mediciones de fase.

Otros estimadores

Otros desarrollos han producido métodos de estimación mejorados para la misma medida de estabilidad, la varianza/desviación de la frecuencia, pero se conocen con nombres distintos como la varianza de Hadamard, la varianza de Hadamard modificada, la varianza total, la varianza total modificada y la varianza de Theo. Estas se distinguen por un mejor uso de la estadística para mejorar los límites de confianza o la capacidad de manejar la deriva lineal de la frecuencia.

Intervalos de confianza y grados de libertad equivalentes

Los estimadores estadísticos calcularán un valor estimado sobre la serie de muestras utilizada. Las estimaciones pueden desviarse del valor real y el rango de valores que, con cierta probabilidad, contendrá el valor real se denomina intervalo de confianza. El intervalo de confianza depende del número de observaciones de la serie muestral, del tipo de ruido dominante y del estimador utilizado. La anchura también depende de la certeza estadística para la que los valores del intervalo de confianza forman un rango acotado, por lo que la certeza estadística de que el valor verdadero está dentro de ese rango de valores. En el caso de los estimadores variables-τ, el múltiplo n de τ₀ también es una variable.

Intervalo de confianza

El intervalo de confianza puede establecerse mediante la distribución chi-cuadrado utilizando la distribución de la varianza de la muestra:​​

$\chi ^{2}={\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}},$

donde s² es la varianza muestral de nuestra estimación, σ² es el valor de la varianza verdadera, df son los grados de libertad para el estimador, y χ² son los grados de libertad para una determinada probabilidad. Para una probabilidad del 90 %, que cubre el rango del 5 % al 95 % en la curva de probabilidad, los límites superior e inferior se pueden encontrar utilizando la desigualdad

$\chi ^{2}(0.05)\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq \chi ^{2}(0.95),$

que después de reordenar para la varianza verdadera se convierte en

${\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.95)}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.05)}}.$

Grados de libertad efectivos

Los grados de libertad representan el número de variables libres capaces de contribuir a la estimación. Dependiendo del estimador y del tipo de ruido, los grados de libertad efectivos varían. Se han encontrado empíricamente fórmulas de estimadores que dependen de N y n:​

Grados de libertad de la varianza de Allan

Tipo de ruido	Grados de libertad
modulación de fase blanca (WPM)	${\text{df}}\cong {\frac {(N+1)(N-2n)}{2(N-n)}}$
modulación de fase de parpadeo (FPM)	${\text{df}}\cong \exp \left[\left(\ln {\frac {N-1}{2n}}\ln {\frac {(2n+1)(N-1)}{4}}\right)^{-1/2}\right]$
modulación de frecuencia blanca (WFM)	${\text{df}}\cong \left[{\frac {3(N-1)}{2n}}-{\frac {2(N-2)}{N}}\right]{\frac {4n^{2}}{4n^{2}+5}}$
modulación de frecuencia de parpadeo (FFM)	${\text{df}}\cong {\begin{cases}{\frac {2(N-2)}{2.3N-4.9}}&n=1\\{\frac {5N^{2}}{4n(N+3n)}}&n\geq 2\end{cases}}$
modulación de frecuencia aleatoria (RWFM)	${\text{df}}\cong {\frac {N-2}{n}}{\frac {(N-1)^{2}-3n(N-1)+4n^{2}}{(N-3)^{2}}}$

Ruido de potencia

Respuesta de ley de potencia de la varianza de Allan

Tipo de ruido de potencia	Pendiente de ruido de fase	Pendiente de ruido en frecuencia	Coeficiente de potencia	Ruido de fase $S_{x}(f)$	Varianza de Allan $\sigma _{y}^{2}(\tau )$	Desviación de Allan $\sigma _{y}(\tau )$
white phase modulation (WPM)	$f^{0}=1$	$f^{2}$	$h_{2}$	${\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{2}$	${\frac {3f_{H}}{4\pi ^{2}\tau ^{2}}}h_{2}$	${\frac {\sqrt {3f_{H}}}{2\pi \tau }}{\sqrt {h_{2}}}$
flicker phase modulation (FPM)	$f^{-1}$	$f^{1}=f$	$h_{1}$	${\frac {1}{(2\pi )^{2}f}}h_{1}$	${\frac {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}{4\pi ^{2}\tau ^{2}}}h_{1}$	${\frac {\sqrt {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}}{2\pi \tau }}{\sqrt {h_{1}}}$
white frequency modulation (WFM)	$f^{-2}$	$f^{0}=1$	$h_{0}$	${\frac {1}{(2\pi )^{2}f^{2}}}h_{0}$	${\frac {1}{2\tau }}h_{0}$	${\frac {1}{\sqrt {2\tau }}}{\sqrt {h_{0}}}$
flicker frequency modulation (FFM)	$f^{-3}$	$f^{-1}$	$h_{-1}$	${\frac {1}{(2\pi )^{2}f^{3}}}h_{-1}$	$2\ln(2)h_{-1}$	${\sqrt {2\ln(2)}}{\sqrt {h_{-1}}}$
random walk frequency modulation (RWFM)	$f^{-4}$	$f^{-2}$	$h_{-2}$	${\frac {1}{(2\pi )^{2}f^{4}}}h_{-2}$	${\frac {2\pi ^{2}\tau }{3}}h_{-2}$	${\frac {\pi {\sqrt {2\tau }}}{\sqrt {3}}}{\sqrt {h_{-2}}}$

$\tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}},$

Mapeo α-μ

$S_{x}(f)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\alpha -2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\beta },$

$\beta \equiv \alpha -2,$

$S_{y}(f)=h_{\alpha }f^{\alpha }$

$\sigma _{y}^{2}(\tau )=K_{\alpha }h_{\alpha }\tau ^{\mu }$

$B_{1}(N,r,\mu )={\frac {1+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {N-n}{N(N-1)}}\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}}.$

Conversión general del ruido de fase

$\sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {2}{\nu _{0}^{2}}}\int _{0}^{f_{b}}S_{\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau )^{2}}}\,df.$

Propiedades de los filtros de tiempo y frecuencia

$\sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i}\right)^{2}\right\rangle ,$

${\bar {y}}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }y(i\tau +t)\,dt.$

$\sigma _{y}^{2}(\tau )=\int _{0}^{\infty }S_{y}(f){\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}\,df.$

$\left\vert H_{A}(f)\right\vert ^{2}={\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}.$

Funciones de sesgo

$B_{1}(N,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }},$

$r={\frac {T}{\tau }}.$

$B_{2}(r,\mu )={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}{2\left(1-2^{\mu }\right)}}.$

$B_{2}(r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle }},$

$r={\frac {T}{\tau }}.$

$B_{3}(N,M,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},$

$B_{3}(2,M,r,\mu )={\frac {2M+MF(Mr)-\sum _{n=1}^{M-1}(M-n)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(M-n)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2]}},$

$T=MT_{0},$

$\tau =M\tau _{0}.$

$F(A)=2A^{\mu +2}-(A+1)^{\mu +2}-|A-1|^{\mu +2}.$

$B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\right\rangle }}.$

$B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )=\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }.$