Ecuaciones para un cuerpo en caída libre

La distancia que recorre un objeto que cae libremente por acción de la gravedad es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. Esta imagen se tomó en medio segundo, y fue capturada por medio de fotografía estroboscópica a 20 capturas por segundo. En las primera captura el balón se desplaza a 12 mm, en la segunda captura el balón se desplaza 4 veces la distancia anterior, posteriormente 9 veces y así sucesivamente.

Bajo condiciones terrestres normales, cuando los objetos se mueven debido a una fuerza gravitacional constante, un conjunto de ecuaciones dinámicas describen las trayectorias resultantes. Por ejemplo, la ley de gravitación universal simplifica a F = mg, donde m es la masa del cuerpo. Esta suposición es válida para objetos de experiencia diaria que caen a tierra de distancias relativamente cortas, pero es inválido para distancias más grandes, como la trayectoria de una nave espacial.

En este artículo se desprecia la resistencia del aire.

Historia

Galileo fue el primero en demostrar y consecuentemente formular estas ecuaciones. Utilizó un plano inclinado para estudiar unas bolas que rodaban en él. La rampa disminuía la aceleración lo suficiente para medir el tiempo que se demoraba la bola en llegar a una distancia determinada. ​​ Él midió el tiempo transcurrido con un reloj de agua, usando un "balance extremadamente adecuado" para medir la cantidad de agua.

Las ecuaciones desprecian la resistencia del aire, la cual tiene un efecto dramático en objetos que caen de una distancia considerablemente grande, haciéndoles alcanzar rápidamente una velocidad límite. Por ejemplo, una persona que salte de un avión en posición horizontal alcanzará una velocidad aproximada de 250 km/h, debido a la resistencia del aire; pero si aumentamos la altura de salida, la densidad del aire disminuye y también su resistencia. Felix Baumgartner saltó desde 38969,3 metros y batió el récord de caída libre alcanzando 1357,64 km/h. El efecto de la resistencia del aire depende enormemente del tamaño y geometría del objeto en caída, de la densidad del aire y de la velocidad. Por ejemplo, las ecuaciones no son válidas para una pluma, que tiene una masa baja pero una gran resistencia al aire. (En la ausencia de una atmósfera todos los objetos caen a la misma velocidad, como el astronauta David Scott demostró al dejar caer un martillo y una pluma en la superficie de la Luna).

Las ecuaciones también ignoran la rotación de la Tierra; por esta razón, el efecto Coriolis no es tenido en cuenta. No obstante, normalmente son lo suficientemente exactas para objetos compactos y densos que caen de alturas que no exceden las estructuras más altas hechas por el hombre.

Visión general

Cerca de la superficie de la Tierra, use la aceleración debido a la gravedad g = 9.81 m/s² (metros por segundo cuadrado) aproximadamente. Para otros planetas multiplique g por el respectivo factor de escala. Es importante usar las unidades correctas para la aceleración debido a la gravedad g, distancia d, tiempo t y velocidad v. Considerando el SI, g se medirá en metros por segundo cuadrado y d se medirá en metros, t en segundos y v en metros por segundo.

En todos los casos se asume que el cuerpo inicia en un estado de reposo (eso significa que su velocidad inicial es Cero) además, la resistencia del aire es despreciada. Generalmente, en la atmósfera de la tierra, esto es válido para caídas que no duren más de 5 segundos (tiempo en que la velocidad del objeto será un poco menor que el valor del vacío de 49m/s, debido a la resistencia del aire). A diferencia del vacío perfecto, la resistencia del aire produce una fuerza de arrastre en cualquier cuerpo que cae sobre cualquier atmósfera, y esta fuerza de arrastre se incrementa con la velocidad hasta que iguale a la fuerza gravitacional, causando que el cuerpo caiga a una velocidad límite constante.

El arrastre atmosférico, el coeficiente de arrastre del objeto, la velocidad instantánea del objeto, y el área expuesta al flujo de aire determina la velocidad límite.

A excepción de la última fórmula, estas fórmulas también asumen que g no varía significativamente con la altura durante la caída (Por lo cual, se asume una aceleración constante). Para situaciones donde la distancia del centro del planeta varía significativamente durante la caída que produzcan cambios significativos en el valor de g, la última ecuación debería usarse para una mayor exactitud. Esta situación ocurre en muchas aplicaciones de física básica.

Ecuaciones

Distancia d recorrida por un objeto en caída libre con tiempo t:	$\ d={\frac {1}{2}}gt^{2}$
Tiempo t transcurrido por un objeto en una distancia de caída d:	$\ t=\ {\sqrt {\frac {2d}{g}}}$
Velocidad instantánea vi de un cuerpo en caída libre después de un lapso de tiempo t:	$\ v_{i}=gt$
Velocidad instantánea vi de un cuerpo en caída libre que ha recorrido una distancia d:	$\ v_{i}={\sqrt {2gd}}\$
Velocidad promedio va de un cuerpo que ha caído en un tiempo t:	$\ v_{a}={\frac {1}{2}}gt$
Velocidad promedio va de un cuerpo en caída libre que ha recorrido una distancia d :	$\ v_{a}={\frac {\sqrt {2gd}}{2}}\$
Velocidad instantánea $\ v_{i}\$ de un cuerpo en caída libre que ha recorrido una distancia $\ d\$ en un planeta con masa $\ M\$, con el radio combinado del planeta y la altitud del cuerpo en caída libre $\ r\$, esta ecuación se usa para radios mas grandes donde $\ g\$ es más pequeño de lo que vale normalmente $\ g\$ en la superficie de la tierra, asumiendo una pequeña distancia de caída, por lo que el cambio en $\ g\$ es pequeño y relativamente constante:	$\ v_{i}={\sqrt {\frac {2GMd}{r^{2}}}}\$
Velocidad instantánea $\ v_{i}\$ de un cuerpo en caída libre que ha recorriendo una distancia $\ d\$ en un planeta con masa $\ M\$ y radio $\ r\$ (usado para distancias de caída grandes donde $\ g\$ puede cambiar significativamente):	$\ v_{i}={\sqrt {2GM{\Big (}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r+d}}{\Big )}}}\$

Medición del tiempo de caída de una pequeña esfera de acero cayendo de diferentes alturas. La información concuerda con el tiempo predicho de ${\sqrt {2h/g}}$, donde h es la altura y g es la aceleración de la gravedad.

Ejemplos

La primera ecuación muestra que, después de un segundo, habrá caído una distancia de 1/2 × 9.8 × 1² = 4.9 metros. Después de dos segundos habrá caído 1/2 × 9.8 × 2² = 19.6 metros, y así sucesivamente.

Para cuerpos astronómicos diferentes a la tierra, y para pequeñas distancias de caída que no se realicen en la tierra, en las ecuaciones ya mencionadas se debe reemplazar g por G(M+m)/r², donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa del cuerpo astronómico, m es la masa del cuerpo en caída libre, y r es la distancia entre el cuerpo y el centro de masas común.

Eliminado la supuesta simplificación de la aceleración gravitacional uniforme nos proveerá resultados mucho más exactos. Podemos hallarla de la fórmula radial para trayectorias elípticas radiales.

El tiempo t transcurrido de un objeto que cae de una altura r a una altura x, medida desde el centro de los dos cuerpos está dada por:

$t={\frac {\arccos {\sqrt {\frac {x}{r}}}+{\sqrt {{\frac {x}{r}}\ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}$

Donde $\mu =g(m_{1}+m_{2})$ es la suma de los parámetros gravitacionales estándar de los dos cuerpos. Esta ecuación debería ser usada cuando haya una diferencia significativa de la aceleración gravitacional durante la caída.

Potencial gravitacional

Para cualquier distribución de masa existe un campo escalar, el potencial gravitacional (un potencial escalar), el cual es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa de un punto de masa, en función de la posición es:

$-G\int {1 \over r}dm$

donde la integral tiene en cuenta toda la masa. Menos su gradiente es el mismo campo gravitacional, y menús su operador laplaciano es la divergencia del campo de gravedad, el cual es igual en cualquier punto a -4πG veces la densidad local.

Aceleración relativa a la rotación de la tierra

La aceleración medida en la superficie de rotación de la tierra no es la misma que la aceleración que es medida para un cuerpo en caída libre por la fuerza centrífuga. En otras palabras, la aceleración aparente en el marco giratorio de referencia es el vector

Véase también

• Dos nuevas ciencias: Una de las investigaciones más antiguas sobre el movimiento de los cuerpos en caída libre
• Ecuaciones de movimiento
• Caída libre
• Gravedad
• Teorema de la velocidad media
• Trayectoria radial
• Ecuación de movimiento

Enlaces externos

• (en inglés) Calculadora de ecuaciones para un cuerpo en caída libre