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En geometría, un zonogon es un centrally symmetric polígono convexo.[1] De manera equivalente, se trata de un polígono convexo cuyos lados se pueden agrupar en pares paralelos con iguales longitudes y orientaciones opuestas.
Ejemplos
Un polígono regular es un zonogon si y solo si tiene un número par de lados.[2] Por lo tanto, el cuadrado, el hexágono regular y el octágono regular son todos zonogones. Los zonogones de cuatro lados son el cuadrado, el rectángulo, el rhombi y el paralelogramo.
Embaldosado y equidissección
Los zonogones de cuatro lados y de seis lados son paralelógono, capaces de formar mosaicos en el plano mediante copias traducidas de sí mismos, y todos los paralelólogos convexos tienen esta forma.[3]
Cada zonogon unilateral puede ser de azulejos por de cuatro lados zonogons.[4] En este suelo de baldosas, hay una zonogon de cuatro lados para cada par de pistas de los lados en el zonogon unilateral. Al menos tres de los vértices de la zonogon debe ser vértices de solo una de las zonogons de cuatro lados en cualquiera de tales tiling.[5] Por ejemplo, el octágono regular puede ser de azulejos por dos plazas y cuatro 45 ° parallelograms.[6]
En una generalización de Monsky's theorem, Plantilla:Harvs demostró que ningún zonogon tiene un equidissection en un número impar de triángulos de igual área.[7][8]
Otras propiedades
En un zonogon de , como máximo, los pares de vértices pueden estar a una distancia entre sí. Existen zonogones con lados pares unidad-distancia.[9]
Formas relacionadas
Los zonogones son los análogos bidimensionales del zonohedra tridimensional y de los zonótopos de mayor dimensión. Como tal, cada zonogon puede ser generada como la Suma de Minkowski de una colección de segmentos de línea en el plane.[1] Si no hay dos de la generación de segmentos de línea son paralelos, habrá un par de bordes paralelos para cada segmento de línea. Cada cara de un zonohedro es un zonogon, y cada zonogon es la cara de al menos un zonohedron, el prisma sobre ese zonogon. Además, cada sección transversal plana a través del centro de un poliedro centralmente simétrico (como un zonohedro) es un zonogon.
Referencias
- ↑ a b Boltyanski, Vladimir; Martini, Horst; Soltan, P. S. (2012), Excursions into Combinatorial Geometry, Springer, p. 319, ISBN 9783642592379.
- ↑ Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry, H. Holt, p. 121, «If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon».
- ↑ Alexandrov, A. D. (2005), Convex Polyhedra, Springer, p. 351, ISBN 9783540231585.
- ↑ Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting, Springer, p. 28, ISBN 9783319107417.
- ↑ Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World, Cambridge University Press, p. 125, ISBN 9780883858035.
- ↑ Frederickson, Greg N. (1997), Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, Cambridge, p. 10, ISBN 0-521-57197-9, MR 1735254, doi:10.1017/CBO9780511574917.
- ↑ Monsky, Paul (1990), «A conjecture of Stein on plane dissections», Mathematische Zeitschrift 205 (4): 583-592, MR 1082876, doi:10.1007/BF02571264.
- ↑ Stein, Sherman; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282.
- ↑ Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia (2002), «The unit distance problem for centrally symmetric convex polygons», Discrete and Computational Geometry 28 (4): 467-473, MR 1949894, doi:10.1007/s00454-002-2882-5.