Propiedades de los números enteros

El conjunto de los números enteros, provisto de las operaciones de adición y multiplicación forman lo que en álgebra abstracta se conoce como el sistema algebraico de anillo.​

Estructura de los números enteros

Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.

Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, $(\mathbb {Z} ,\leq )$, donde $\leq$ es el orden usual sobre $\mathbb {Z}$, es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante $\mathbb {Z}$ (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).

Construcción formal de los enteros a partir de los naturales

Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo $-3=5-8$, de donde puede asociarse el número $-3$ con el par ordenado $(5,8)$ de números naturales. Sin embargo, debido a que $(4,7)$ y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado $-3$ al restar, no puede decirse simplemente que $-3=(5,8)$. Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado $-3$ al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados $(a,b)$ y $(c,d)$ puedan ser asociados al mismo número entero si:

(1)$~a-b=c-d$.

El único problema es que la ecuación (1) no está definida en $\mathbb {N}$ cuando $a<b$. Pero esto se remedia fácilmente, al notar que

$~a-b=c-d$

equivale a

$~a+d=b+c$

Ciertamente $a+b\in \mathbb {N}$ para cualesquiera $a,b\in \mathbb {N}$, de tal manera que puede definirse una relación $\sim$ sobre $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ mediante:

$(a,b)\sim (c,d)\quad$

si y solo si

$~a+d=b+c$

La relación $\sim$ es una relación de equivalencia que produce en $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ una partición en clases de equivalencia, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:

$~[(4,7)]=[(2,5)]=[(5,8)]=[(1,4)]=-3$

Si admitimos el cero como número natural, podemos definir:

${\begin{cases}~[(n,0)]=n\\~[(0,n)]=-n\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces

${\begin{cases}~[(n+1,1)]=n\\~[(1,n+1)]=-n\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

Luego el cero puede definirse como:

$~0=[(n,n)]\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

El escoger $(n,0)$ y $(0,n)$ (o $(n+1,1)$ y $(1,n+1)$ para cuando no se acepta $0\in \mathbb {N}$), para las definiciones anteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares ordenados. Nótese que, de cualquier forma,

${\begin{cases}~[(n+m,m)]=n\\~[(m,n+m)]=-n\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:

(2)$\mathbb {Z} =\{[(a,b)]_{\sim }\mid (a,b)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \}$

de todas las clases de equivalencia producidas por la relación $\sim$ sobre el producto cartesiano $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$. Esto es, $\mathbb {Z}$ es el conjunto cociente:

(3)$\mathbb {Z} =\left(\mathbb {N} \times \mathbb {N} \right)/\sim$.

Definición de adición y multiplicación sobre números enteros

Se define la adición ($+$) sobre $\mathbb {Z}$ como sigue:

$~[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c\ ,\ b+d)]$ | info=para todo $a,b,c,d\in \mathbb {N}$

teniendo previamente definida la adición sobre $\mathbb {N}$. La definición anterior no depende de los representantes $a,b,c,d\,$ escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)\,$

La multiplicación ($\cdot$) sobre $\mathbb {Z}$ se define como sigue:

$~[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd\ ,\ ad+bc)]$ | info=para todo $n\in \mathbb {N}$

teniendo previamente definida la multiplicación sobre $\mathbb {N}$. La definición anterior está correctamente definida debido a que:

$(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)\,$

Propiedades

• En una recta se ubican a la derecha del cero.

Ej 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

• En ℤ es posible resolver cualquier ecuación de la forma x + a = b
• En Z hay una nueva operación ( operación binaria interna) la resta
• Tiene la misma cardinalidad que los conjuntos, y de los enteros gausianos y algo más, lo mismo que el conjunto de los números algebraicos

Te bale ñaña