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Siendo [[Número e|e]] la base del [[logaritmo natural]], '''a''' es una constante real positiva y '''b''' es tal que cuando el ángulo θ es un ángulo imimjmmjmjmjmjmjmjmjmjmmjmj |
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:<math>e^{b\theta_\mathrm{recto}}\, = \phi</math> |
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Revisión del 11:53 21 mar 2018
La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado.[1] La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada.[2] Aparece esta espiral representada en diversas figuras de la naturaleza (plantas, galaxias espirales, ), así como en el arte.
Desarrollo matemático
La ecuación polar que describe la espiral dorada es la misma que cualquier otra espiral logarítmica, pero con el factor de crecimiento (b) igual Φ, esto es:[3]
o, de la misma forma
Siendo e la base del logaritmo natural, a es una constante real positiva y b es tal que cuando el ángulo θ es un ángulo imimjmmjmjmjmjmjmjmjmjmmjmj
Por lo tanto, b se encuentra determinado por
El valor numérico de b depende de si el ángulo θ es medido en grados o radianes; como b puede tomar valores positivo o negativos según el signo de θ lo más sencillo es indicar su valor absoluto:
- para θ en grados;
- para θ en radianes.
Una fórmula alternativa para la espiral dorada se obtiene en:[4]
donde la constante c está determinada por:
para la espiral dorada los valores de c son:
si θ se mide en grados sexagesimales, y
si θ se mide en radianes.
Aproximaciones a la espiral dorada
Existen aproximaciones a la espiral dorada, que no son iguales.[5] Este tipo de espirales, a menudo se confunden con la espiral dorada. Un ejemplo es la espiral de Fibonacci que resulta ser una aproximación a la espiral dorada.
Generación
Espirales doradas | |||||||||
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Referencias
- ↑ Steven L. Griffing, (2007), The Golden Section: An Ancient Egyptian and Grecian Proportion, Elsevier, New York, pág. 121-124
- ↑ Chang, Yu-sung, "Golden Spiral", The Wolfram Demonstrations Project.
- ↑ Priya Hemenway (2005). Divine Proportion: θ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. pp. 127-129. ISBN 1402735227.
- ↑ Klaus Mainzer (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. pp. 45, 199-200. ISBN 3110129906.
- ↑ Charles B. Madden (1999). Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. High Art Press. pp. 14-16. ISBN 0967172764.
Referencias externas
- Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Espiral dorada.