Coeficiente de restitución

Fotografías de una pelota que rebota tomada con una luz estroboscópica a 25 imágenes por segundo. Si se desprecia la resistencia del aire, la raíz cuadrada de la relación de la altura de un rebote con respecto a la altura del rebote previo es el coeficiente de restitución del impacto pelota-superficie del suelo.

El coeficiente de restitución (en realidad, cociente) es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas.

Introducción

En una colisión frontal alineada de dos esferas sólidas (como las que experimentan las bolas de billar) las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión: si es inelastico,tendra que gastar

$C_{R}=-{\frac {V_{1f}-V_{2f}}{V_{1i}-V_{2i}}}$

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Donde $C_{R}$ es precisamente el coeficiente de restitución, que toma valores entre 0 y 1. El valor 1 se da en un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema. El valor $0\leq C_{R}<1$ se da en un choque inelástico (o plástico central) donde sólo se conserva el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se "consume" durante el choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica, energía sonora, calor, etcétera.

El coeficiente de restitución es la velocidad relativa de alejamiento, dividido entre la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.

Expresiones analíticas

El coeficiente de restitución puede determinarse experimentalmente, en algunos pocos casos bajo ciertas hipótesis analíticas también puede calcularse teóricamente. Los cálculos teóricos prueban que el coeficiente depende de hecho de la velocidad de deformación (aunque frecuentemente este efecto se ignore), además del material del que estén hecho los cuerpos. La hipótesis más común consiste en suponer un material viscoelástico lineal. Para el caso de dos esferas del mismo material viscoelástico el coeficiente de restitución puede expresarse en potencias de la velocidad de aproximación:​

$C_{R}=1-C_{1}\left({\frac {3}{2}}A\right)\left({\frac {\rho }{m_{eff}}}\right)^{2/5}v_{r}^{1/5}+C_{2}\left({\frac {3}{2}}A\right)^{2}\left({\frac {\rho }{m_{eff}}}\right)^{4/5}v_{r}^{2/5}-\dots$

Donde:

$A={\frac {1}{3}}{\frac {(3\eta _{2}-\eta _{1})^{2}}{3\eta _{2}+2\eta _{1}}}\left[{\frac {(1-2\nu )(1-\nu ^{2})}{E\nu ^{2}}}\right]$

$\eta _{1},\eta _{2}\,$, constantes viscosas del material.

$E,\nu \,$, constantes elásticas del material: módulo de Young y coeficiente de Poisson.

$\rho ={\frac {2E}{3(1-\nu ^{2})}}{\sqrt {R_{eff}}}$

$m_{eff}=m_{1}m_{2}/(m_{1}+m_{2}),\ R_{eff}=R_{1}R_{2}/(R_{1}+R_{2}),\,$

$R_{i},m_{i}\,$, radio y masa de la esfera i-ésima.

$v_{r}=(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})\cdot {\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}{\|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\|}}$, velocidad relativa de aproximación.

$C_{1}={\frac {\sqrt {\pi }}{50^{1/5}}}{\frac {\Gamma (3/5)}{\Gamma (21/10)}}=1,15344,\ C_{2}=0,79826$ constantes calculadas a partir de la ecuación de movimiento:

${\begin{cases}{\ddot {\xi }}+{\cfrac {\rho }{m_{eff}}}\left(\xi ^{3/2}+{\cfrac {3}{2}}A{\sqrt {\xi }}{\dot {\xi }}\right)\\\xi (0)=0,{\dot {\xi }}(0)=0\end{cases}}$

donde:

$\xi =R_{1}+R_{2}-\|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\|$, es la deformación por aplastamiento sufrida por la distancia entre centros de las dos esferas.

Aproximaciones

En el choque de una única partícula contra una superficie plana, es posible aplicar la aproximación de Servera-Galván.^{[cita requerida]} A pesar de que este método permite reducir la complejidad de los cálculos, el resultado final sólo difiere ligeramente respecto de la realidad.

$C_{R}={\frac {\tan \varphi }{\tan \alpha }}$

En donde $\alpha$ es el ángulo de la velocidad del centro de masas después del choque, y $\varphi$ el ángulo de incidencia (ambos respecto a un eje paralelo a la superficie).

Referencias

Bibliografía

• R. Ramírez et al. (1999). «Coefficient of restitution of colliding viscoelastic spheres». Phys. Rev. 60: 4465-4472. Consultado el 20 de octubre de 2013.