Coeficiente de restitución

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Fotografías de una pelota que rebota tomada con una luz estroboscópica a 25 imágenes por segundo. Si se desprecia la resistencia del aire, la raíz cuadrada de la relación de la altura de un rebote con respecto a la altura del rebote previo es el coeficiente de restitución del impacto pelota-superficie del suelo.

El coeficiente de restitución (en realidad, cociente) es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas.

Introducción[editar]

En una colisión frontal alineada de dos esferas sólidas (como las que experimentan las bolas de billar) las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión:

C_R = -\frac{V_{2f} - V_{1f}}{V_{2i} - V_{1i}}

Donde C_R es precisamente el coeficiente de restitución, que toma valores entre 0 y 1. El valor 1 se da en un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema. El valor 0<Cr<1 se da en un choque inelástico (o plástico central) donde sólo se conserva el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se "consume" durante el choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica, energía sonora, calor, etcétera.

El coeficiente de restitución es la velocidad relativa de alejamiento, dividido entre la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.

Expresiones analíticas[editar]

El coeficiente de restitución puede determinarse experimentalmente, en algunos pocos casos bajo ciertas hipótesis analíticas también puede calcularse teóricamente. Los cálculos teóricos prueban que el coeficiente depende de hecho de la velocidad de deformación (aunque frecuentemente este efecto se ignore), además del material del que estén hecho los cuerpos. La hipótesis más común consiste en suponer un material viscoelástico lineal. Para el caso de dos esferas del mismo material viscoelástico el coeficiente de restitución puede expresarse en potencias de la velocidad de aproximación:[1]

C_R = 1 -
C_1\left(\frac{3}{2}A\right) \left(\frac{\rho}{m_{eff}}\right)^{2/5} v_r^{1/5} +
C_2\left(\frac{3}{2}A\right)^2 \left(\frac{\rho}{m_{eff}}\right)^{4/5} v_r^{2/5}
- \dots

Donde:

A = \frac{1}{3}\frac{(3\eta_2-\eta_1)^2}{3\eta_2+2\eta_1}
\left[ \frac{(1-2\nu)(1-\nu^2)}{E\nu^2}\right]
\eta_1, \eta_2\,, constantes viscosas del material.
E, \nu\,, constantes elásticas del material: módulo de Young y coeficiente de Poisson.
\rho = \frac{2E}{3(1-\nu^2)}\sqrt{R_{eff}}
m_{eff} = m_1m_2/(m_1+m_2),\ R_{eff} = R_1R_2/(R_1+R_2),\,
R_i, m_i\,, radio y masa de la esfera i-ésima.
v_r = (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)\cdot \frac{(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)}{\|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\|}, velocidad relativa de aproximación.
C_1 = \frac{\sqrt{\pi}}{50^{1/5}} \frac{\Gamma(3/5)}{\Gamma(21/10)} =
 1,15344,\ C_2 = 0,79826 constantes calculadas a partir de la ecuación de movimiento:

\begin{cases}\ddot{\xi} + \cfrac{\rho}{m_{eff}}
\left( \xi^{3/2} + \cfrac{3}{2}A \sqrt{\xi}\dot{\xi} \right)\\
\xi(0) = 0, \dot{\xi}(0) = 0  \end{cases}

donde:

\xi = R_1 + R_2 -\|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\|, es la deformación por aplastamiento sufrida por la distancia entre centros de las dos esferas.

Referencias[editar]

  1. Rosa Ramírez et al., 1999, p. 4467

Bibliografía[editar]