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Usuario:TheMafianTony/Taller

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Existencia y unicidad de soluciones de PVI lineales de orden n

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Podemos escribir toda ecuación diferencial de orden como un sistema de orden y dimensión . Definimos para de tal manera que queda la relación .

Soluciones de la EDO x'-x+t=0

Además,


Escrito en forma matricial:

,



donde es una matriz de dimensiones , y es el vector columna cuyo única componente no nula es .

Si expresamos con , el sistema se puede escribir como . La función es continua respecto a las dos variables.

Puesto que es una función continua en sus dos variables, para poder llegar a aplicar el Teorema de Picard-Lindelöf, faltaría comprobar que es Lipschitz respecto a (uniformemente en ). En lo que sigue, usaremos la norma euclídea de un vector, denotada como , donde , para , son las componentes del vector . Sean ,

.

Sea ,


Obtenemos ,

por lo que tiene constante de Lipschitz .

Puesto que se cumplen las hipótesis del Teorema de Picard-Lindelöf, queda demostrado que hay una única solución del sistema con datos iniciales , , dados en un punto .

Si , entonces:

Por otra parte,

es decir luego es solución de la ecuación. Además, , , y por tanto es la solución (única) del problema de valor inicial con datos , para la ecuación diferencial lineal.

Ejemplo

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Sea el problema de valores iniciales:

Vamos a transformarlo en un sistema de ecuaciones:

con condiciones iniciales:

Sea podemos escribir el sistema como:

, donde A es la matriz , b es el vector vector y las condiciones iniciales son .

Ahora, aplicando el método anteriormente descrito:

Sea .

En este caso:

por lo que hay unicidad y existencia de soluciones para dicho PVI.

Borrador versión 6, por Daniel Ríos Palencia, Asier Fernández Arrazola, Wen Jie Guo Zhou y Lucía Ulecia Rivas.