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El teorema fundamental de la aritmética es la afirmación de que todo entero natural no nulo se puede descomponer como un producto de factores primos de forma única.

Ejemplos:     91000 = 2³×5³×7×13    y    6363 = 3²×7×101.

Además no existe ninguna otra factorización de 91000 y 6363 en números primos, excepto cambiando el orden de los factores. Es costumbre escribirlos en orden creciente. Un producto de cero factor es por convención igual a 1, lo que permite afirmar que 1 también verifica el teorema.

Prueba

Existen varias pruebas de este teorema que fue descubierto por los griegos hace más de dos milenios: prueba por reducción al absurdo o pruebas constructivas, es decir que permiten efectivamente encontrar tal factorización (o descomposición) en factores primos. Si la prueba ad absurbum no es significativamente más corta se prefiere la constructiva.

La prueba consta de dos partes: primero, se debe mostrar que todo número entero positivo puede en efecto escribirse como producto de primos, y luego que tal descomposición es única (si se ordenan los factores).

Existencia: Primero se verifica el teorema para valores pequeños: el caso 1 ya se ha visto, 2 es primo, 3 también, 4 = 2², 5 es primo, 6 = 2×3, 7 es primo, 8 = 2³, 9 = 3² ... parece que funciona.
Luego se lanza uno en una demostración por inducción: Supongamos que hemos sido capaces de descomponer en primos todos los enteros entre 2 y n-1. (afirmación que denotamos A_n-1).
Consideremos el entero n: si es primo entonces no hay nada más que demostrar. Si no es el caso, entonces n tiene un factor propio, es decir distinto de 1 y de él mismo. Sea a este factor, y b = n/a. Entonces n = a·b. Como a y b son por construcción inferiores a n, por lo tanto a≤n-1 y b≤n-1, y A_n-1 permite afirmar que a y b se descomponen en factores primos:
a = a₁·a₂·a₃...a_j y b=b₁·b₂·b₃...b_k. Entonces n = a·b = a₁·a₂...a_j·b₁·b₂...b_k, que es un producto de primos. Hemos demostrado que A_n también es cierta.

A₁ es cierta y A_n-1 implica A_n . Entonces la afirmación A_n es siempre válida (con n ≥1).

Unicidad: La demostración de la unicidad se apoya en el siguiente teorema, llamado a veces teorema de Euclides, a veces consecuencia del teorema de Gauss:

si un número primo p divide a un producto ab, entonces divide a a o divide a b.
formalmente: $p\mid ab\Longrightarrow (p\mid a\ \lor \ p\mid b)$

Prueba: si p no divide a a, entonces p y a son coprimos (primos entre si) y por la identidad de Bézout existen enteros relativos u y v tales que pu + av = 1. Multiplicando por b se obtiene que pbu + abv = b. Ambos términos de la la izquierda son divisibles por p, así que el de la derecha también lo es.

Supongamos ahora que n tiene dos descomposiciones en primos distintas: n = 2^a₁·3^a₁ ...p^a_m = 2^b₁·3^b₂ ... p^b_m (los exponentes son positivos o eventualmente nulos)

Como son productos distintos, existen por lo menos dos exponentes homólogos distintos: a_i ≠ b_i. Podemos suponer sin restringir la generalidad del raciocinio que a₁ > b₁ (los otros casos serían parecidos). Dividamos ambos productos por 2^b₁. A la izquierda queda el factor 2^a₁-b₁ mientras que a la derecha no queda ningún 2. Entonces el termino de izquierda es divisible por dos pero el de derecha no lo es (porque el primo 2 no divide ningún otro primo y por consiguiente no divide el producto, según el teorema de Euclides). Es absurdo porque ambos términos son iguales.

http://enciclopedia.us.es/upload/descomposici%F3n_mediante_%E1rbol.png

Método manual de descomposición

La prueba, constructiva, sugiere el método siguiente: encontramos dos (o más) factores obvios (y de ser posible bastante grandes), a y b tales que n = a×b de n, y luego descomponemos a y b y repetimos la operación hasta obtener solo factores primos. La mejor representación es la de un árbol cuya "raíz" es el número por descomponer y las hojas son los factores primos. Con los ejemplos precedentes se obtiene el esquema de la derecha:

http://enciclopedia.us.es/upload/descomposici%F3n_mediante_divisiones.png

Si no hay factores grandes obvios, el método alternativo es tratar de dividir n por todos los primos empezando por el 2 y después de haberlo agotado el 3 y así sucesivamente, dividiendo a medida por los factores y ayudándose de los criterios de divisibilidad.
El cálculo se presenta como una sucesión de divisiones y se para cuando aparece el 1, indivisible.
Nótese también que cuando se busca un factor primo de un entero n, no hay que ir más allá de su raíz cuadrada √n: En efecto si existe un factor a mayor que √n también habrá uno menor (concretamente: n/a)

Aplicaciones

El teorema establece la importancia de los números primos. En esencia, respecto a la multiplicación, los primos son los "ladrillos básicos" con los que se "construyen" los enteros positivos. Toda propiedad o función que se "comporta bien" para con la multiplicación precisa de los números primos (para definirla, verificarla o calcularla).

• Es el caso de la divisibilidad:
  

los divisores positivos de n = 2^a₁·3^a₁ ...p^a_m son los números que se descomponen en 2^b₁·3^b₁ ...p^b_m, con los exponenentes que verifican 0 ≤ b_i ≤ a_i. Esta propiedad permite contar los divisores de un natural dado: hay (a₁ + 1)·(a₁ + 1)...(a_m + 1) divisores positivos y otros tantos negativos.

Por ejemplo 24 = 2³×3; los exponentes son 3 y 1, luego hay (3 + 1)·(1 + 1 )= 8 divisores positivos. En efecto son ocho: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

• Es el caso del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo que se obtienen respectivamente tomando los factores primos comunes con el menor exponente por una parte, y todos los factores presentes, con el mayor exponente por otra parte.
  

Por ejemplo: 504 = 2³×3²×7 y 450 = 2×3²×5².
Entonces mcd (504, 450) = 2×3² = 18 y   mcm(168, 450) = 2³×3²×5²×7 = 12600.

Autor: M.Romero Schmidtke