Usuario:Juan Marquez/Maniobras

punto aislado

En un espacio topológico $X$ un punto $x\in X$ se dice aislado de otro objeto $E\subset X$, si existe una vecindad de $x$ que tiene intersección vacía con $E$, i.e. $\exists U$ vecindad de $x$ tal que

$U\cap E=\varnothing$

Proposiciones de análisis

Con las definiciones de punto de acumulación, clausura, interior,... podemos jugar, al final están disponibles "jeroglificos" para ser utilizados en la reconstrucción de las demostraciones..

En las proposiciones de abajo tenemos algunos teoremas básicos de análisis cuyas demostraciones fueron redactadas el año pasado (2006), por los compañeros de la clase de análisis llevada por algunos verdaderos estudiantes del CUCEI, cuando la convención de clausura era definida como en la Prop.1 de abajo.

Para la forma que va a quedar este semestre (2007B) siga a la liga de a continuación: aquí ANRE

Prop1

P1: ${\bar {E}}:=E\cup E'$ es cerrado

Dem: Sea $x\in {\bar {E}}^{c}=(E\cup E')^{c}=E^{c}\cap E'^{c}$. Entonces $x\in E^{c}$ & $x\in E'^{c}$ i.e. $x\notin E'$ & $x\notin E$. Por la definición de punto de acumulación tenemos para un $\varepsilon >0$ suficientemente pequeño: $(B_{\varepsilon }(x)\setminus \{x\})\cap E=\emptyset$, lo cual implica $B_{\varepsilon }(x)\setminus \{x\}\subset E^{c}$, pero como x no está en E también, tendremos $B_{\varepsilon }(x)\subset E^{c}$.

Falta demostrar que $B_{\varepsilon }(x)\subset E'^{c}$. Entonces vamos a demostrar que si $y\in B_{\varepsilon }(x)$ entonces $y\notin E'$:

Si $y\in B_{\varepsilon }(x)$, entonces tenemos $\exists B_{\rho }(y)\subset B_{\varepsilon }(x)$ pues $B_{\varepsilon }(x)$ es un conjunto abierto. Pero $B_{\varepsilon }(x)\subset E^{c}$, así que $B_{\rho }(y)\subset E^{c}$, desde lo que se infiere $B_{\rho }(y)\cap E=\emptyset$ y $(B_{\rho }(y)\setminus \{y\})\cap E=\emptyset$. Por esto $y\notin E'$.

Así $B_{\varepsilon }(x)\subset E^{c}\cap E'^{c}$ y entonces ${\bar {E}}^{c}$ es abierto. Por lo tanto ${\bar {E}}$ es cerrado $\Box$

Monica Felipa Ramirez Palacios

Prop 2

P2: ${\bar {E}}=\cap _{k}F_{k}$ donde los $F_{k}$ son conjuntos cerrados que contienen a $E\,$

Dem: Sean $x\in {\bar {E}}$ y $F_{k}$ un conjunto cerrado cualquiera que contiene a $E\,$.

Por definición de ${\bar {E}}$: $x\in E\cup E'$, ie $x\in E$ ó $x\in E'$. Es necesario demostrar para dos casos.

1.- Cuando $E\subset F_{k}$ para cada k. Por lo tanto $E\subset \cap _{k}F_{k}$.

2.- Con $x\in E'$, vamos a demostrar que $x\in F_{k}$.

Supongamos que $x\notin F_{k}$ para algún k. Como $F_{k}^{c}$ es abierto $\exists B_{\delta }(x)\subset F_{k}^{c}$ tal que $B_{\delta }(x)\cap F_{k}=\emptyset$. Y pero $E\,$ está contenido en $F_{k}$, por lo que x no es punto de acumulación de $E\,$. Contradicción. Entonces $x\in F_{k}$ para cada k y por lo tanto $E'\subseteq F_{k}$.

Así ${\bar {E}}\subseteq \cap _{k}F_{k}$... ¿qué falta?

Falta demostrar que $\cap _{k}F_{k}\subseteq {\bar {E}}$.

Como ${\bar {E}}$ es un conjunto cerrado (PROP 1) y $E\subset {\bar {E}}$, entonces ${\bar {E}}$ es uno de los factores $F_{k}$.

Por lo tanto $\cap _{k}F_{k}\subseteq {\bar {E}}$.

$\Box$

By Elena Rmz.

Prop 3

P3: $E'\subset E$ ssi $E$ es cerrado

Dem: Se va demostrar primero que si $E$ es cerrado entonces $E'\subset E$.

Como $E$ es cerrado, entonces $E^{c}$ es abierto. Esto implica que $\exists B_{\varepsilon }(x)$ talque $B_{\varepsilon }(x)\subset E^{c}$. Por lo que $B_{\varepsilon }(x)\cap E=\emptyset$, y también $(B_{\varepsilon }(x)\setminus \{x\})\cap E=\emptyset$.

Entonces $x$ no es un punto de acumulación de E, i.e. $x\notin E'$, o sea $x\in E'^{c}$. Como x es cualquier elemento de $E^{c}$, hemos deducido $E^{c}\subset E'^{c}$ que es equivalente a $E'\subset E$.

Ahora demostraremos que si $E'\subset E$ entonces $E$ es cerrado.

Suponiendo que $E'\subset E$ deducimos $E'\cup E=E$ i.e. ${\bar {E}}=E$. Como ${\bar {E}}$ es cerrado por P1 entonces E también lo es $\Box$

Francisco José de Anda Navarro

Prop 4

P4: $(E\cup F)'=E'\cup F'$

Demostración: Vamos a demostrar primero $(E\cup F)'\subset E'\cup F'$.

Supongamos que $x$ no es punto de acumulación de $E$ ni de $F$ (esto es $x\not \in E'$ y $x\not \in F'$), entonces $\exists \epsilon _{1}$ tal que $(B_{\epsilon _{1}}(x)\setminus \{x\})\cap E=\varnothing$ (1) y además $\exists \epsilon _{2}$ tal que $(B_{\epsilon _{2}}(x)\setminus \{x\})\cap F=\varnothing$.

Sin pérdida de generalidad supongamos que $\epsilon _{1}\leq \epsilon _{2}$, lo cual implica que $B_{\epsilon _{1}}(x)\subset B_{\epsilon _{2}}(x)$. De esta manera $(B_{\epsilon _{2}}(x)\setminus \{x\})\cap F=\varnothing$ implica que $(B_{\epsilon _{1}}(x)\setminus \{x\})\cap F=\varnothing$ (2) (de lo contrario habría un punto en la vecindad de radio $\epsilon _{1}$ y en $F$, y dicho punto también pertenecería a la vecindad de radio $\epsilon _{2}$ de manera que su intersección con F no sería vacía).

Usando (1) y (2) tenemos que $\left[(B_{\epsilon _{1}}(x)\setminus \{x\})\cap E\right]\cup \left[(B_{\epsilon _{1}}(x)\setminus \{x\})\cap F\right]=\varnothing$. Por ley distributiva: $(B_{\epsilon _{1}}(x)\setminus \{x\})\cap (E\cup F)=\varnothing$. Luego $x$ tampoco es punto de acumulación de $E\cup F$.

Acabamos de demostrar que $x\in (E')^{c}\cap (F')^{c}$ implica $x\in ((E\cup F)')^{c}$. Así $(E')^{c}\cap (F')^{c}\subset ((E\cup F)')^{c}$. Tomando complementos (y ley de Morgan) tenemos que $(E\cup F)'\subset E'\cup F'$.

Sea ahora $y\not \in (E\cup F)'$ entonces $\exists \epsilon$ tal que $(B_{\epsilon }(x)\setminus \{x\})\cap (E\cup F)=\varnothing$, por ley distributiva $\left[(B_{\epsilon }(x)\setminus \{x\})\cap E\right]\cup \left[(B_{\epsilon }(x)\setminus \{x\})\cap F\right]=\varnothing$. Si existiera algún elemento en cualquier miembro de la unión, ésta sería no vacía, de manera que necesariamente $(B_{\epsilon }(x)\setminus \{x\})\cap E=\varnothing$ y $(B_{\epsilon }(x)\setminus \{x\})\cap F=\varnothing$. Luego $y\not \in E'$ ni $y\not \in F'$, Osea $y\not \in E'\cup F'$. De manera que si tomamos $x\in E'\cup F'$ necesariamente $x\in (E\cup F)'$. Así tenemos $E'\cup F'\subset (E\cup F)'$.

$\Box$

Nota: Esta proposición no se cumple para intersección, es decir $(E\cap F)'=E'\cap F'$, es falsa en general.

Como contraejemplo tomese: $E=(-\infty ,0)$ y $F=(0,\infty )$. De manera que $E'=(-\infty ,0]$ y $F'=[0,\infty )$. Luego $E\cap F=\varnothing \Rightarrow (E\cap F)'=\varnothing$ pero $E'\cap F'=\{0\}$.

(Estos mismos conjuntos sirven como contraejemplo para el caso de la clausura de una intersección, ${\overline {E\cap F}}={\overline {E}}\cap {\overline {F}}$ )

Prop5

P5: ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

Demostración: Este es un resultado del teorema anterior. Sabemos que la clausura de un conjunto de $\mathbb {R} ^{n}$ es equivalente a:

${\overline {A\cup B}}=(A\cup B)\cup (A\cup B)'$. Usando la proposición anterior, tenemos:

${\overline {A\cup B}}=(A\cup B)\cup (A'\cup B')$. Usando propiedad asosiativa y conmutativa:

${\overline {A\cup B}}=(A\cup A')\cup (B\cup B')={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

$\Box$

Prop

Sea $B=\{x\in X:\forall V_{x}\quad {\mbox{-vecindad de x-}}\quad V_{x}\cap A\neq \emptyset \}$. Demuestre que $B={\bar {A}}$

Demostrar:

---

Sobre compactos

Proposición 1 (previa al teorema de Heine-Borel): Cada compacto en $\mathbb {R} ^{n}$ es cerrado

Demostración: Pongale nombre al conjunto. Hay que elegir un punto en el complemento de él. Considere epsilon vecindades cerradas de radio decreciente de este punto. Por la compacidad del conjunto, llegaremos a establecer que hay una vecindad (del punto) que está totalmente contenida en el complemento del compacto. Así este complemento es abierto y por lo tanto el compacto, cerrado $\Box$

Ahora reescriba todo lo anterior usando lenguaje formal... $:)$

Porposición 2 Cada compacto es acotado

Demostración: Sea K nuestro compacto. Considere que el espacio se puede cubrir con bolas de radio un natural $B_{n}(0)$. Así $B_{n}(0)\subset B_{n+1}(0)$ y $\mathbb {R} ^{n}=\cup _{n}B_{n}(0)$, i.e los conjuntos $B_{n}(0)$ forman una cubierta abierta de $\mathbb {R} ^{n}$ y en particular de K y como K es compacto... $\Box$

Iñiguez

También David Iñiguez Baez, nos va a explicar el inverso del map $\phi \colon {\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} }\to {\mathbb {N} }$ definido por

$\phi (n,m)=m+{\frac {(m+n)(m+n+1)}{2}}$

DEM con ideas de David Iñiguez Baez

Observemos que para parejas de la forma $(n,0)\,$ uno obtiene $\phi (n,0)={\frac {n(n+1)}{2}}$ que es la fórmula que calcula la suma $1+2+3+\cdots +n$.

Así vemos que

$(0,0)\mapsto 0$

$(1,0)\mapsto 1$

$(2,0)\mapsto 3$

$(3,0)\mapsto 6$

$(4,0)\mapsto 10$

$(5,0)\mapsto 15$

$(6,0)\mapsto 21$

$(7,0)\mapsto 28$

...

Podemos apoyarnos graficamente utilizando un grafico bidimensional cuyo eje horizontal esta formado por las $n$ y el eje vertical por las $m$ asì, podemos ubicar cualquier $\phi (n,m)$.

${\begin{bmatrix}\vdots &&&&&&&\\27&34&&&&&\\20&26&33&&&&&\\14&19&25&32&&&&\\9&13&18&24&31&\\5&8&12&17&23&30&...\\2&4&7&11&16&22&29&...\\0&1&3&6&10&15&21&28&...\end{bmatrix}}$

Además vemos que subiendo en contradiagonal en alguna de estas posiciones, digamos en $(6,0)\,$

$(6,0)\mapsto 21$

$(5,1)\mapsto 22$

$(4,2)\mapsto 23$

$(3,3)\mapsto 24$

$(2,4)\mapsto 25$

$(1,5)\mapsto 26$

$(0,6)\mapsto 27$

Detalles

i.e cada diagonal tiene como primer elemento el numero $\phi (n,0)$, y como ultimo elemento ${\frac {n(n+3)}{2}}$ que es lo mismo que $\phi (0,n)$, asì el primer elemento de la diagonal siguiente serà $\phi (n+1,0)=$ ${\frac {n(n+3)}{2}}+1$.

En el grafico los elementos primeros de cada diagonal son: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,..., ${\frac {n(n+1)}{2}}$.

Y los elementos ultimos son: 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27,..., ${\frac {n(n+3)}{2}}$.

Dado $\lambda \in \mathbb {N}$, para encontrar la pareja $(a,m)\,$ de este arreglo que corresponde a la posición $\phi (a,m)=\lambda$ calculamos el cero positivo $n$ de la siguiente ecuación

$n^{2}+n-2\lambda =0\,$

es decir $n$ cumple

$n={\frac {-1+{\sqrt {1+8\lambda }}}{2}}\,$

en caso de que $n\,$ sea entero estaremos en presencia de un número que satisface $\phi (n,0)={\frac {n(n+1)}{2}}=\lambda$ , y entonces $a=n$ i.e $\phi (a,0)=\lambda$ , pero si no, ante un número $n\,$ que satisface dividir a $\lambda \,$ resultando $\lambda ={\frac {\tau (\tau +1)}{2}}+r$ donde $r\,$ cumple $0\leq r\leq \tau$ y $\tau$ es la parte entera de $n$.

Si calculamos ${\frac {\tau (\tau +1)}{2}}$ = $\phi (\tau ,0)$ nos damos cuenta por la naturaleza de $\tau$ que este numero calculado $\phi (\tau ,0)$ es un primer elemento de alguna diagonal.

Es evidente que $\phi (\tau +1,0)$ es el primer elemento de la diagonal que sigue a la diagonal cuyo primer elemento es $\phi (\tau ,0)$.

De lo anterior se deduce que el $\lambda$ buscado es algun elemento de la diagonal cuyo primer elemento es $\phi (\tau ,0)$, i.e $\phi (\tau ,0)<\lambda \leq {\frac {\tau (\tau +3)}{2}}$.

Entonces si hacemos $r=\lambda -{\frac {\tau (\tau +1)}{2}}$ sabremos cuantos elementos tendremos que subir en contradiagonal para llegar a $\lambda$, asì pues al ir subiendo lugares vamos aumentando el valor de $m$ desde $m=0$ hasta $m=r$, de igual manera al ir haciendo esto $a$ va disminuyendo su valor desde $a=\tau$ hasta $a=\tau -r$.

En general, dado $\lambda \in \mathbb {N}$, , para encontrar la pareja $(a,m)$ que satisface $\phi (a,m)=\lambda$, hacemos $a=\tau -r$ y $m=r$.

Donde:

$\tau$ es la parte entera de la raiz positiva de la ecuacion

$n={\frac {-1+{\sqrt {1+8\lambda }}}{2}}\,$ ( Es claro que cuando la raiz positiva n es entera, simplemente hacemos $a=n$, y $m=0$),

y,

$r=\lambda -{\frac {\tau (\tau +1)}{2}}$.

Ejemplo.

Dado $\lambda =24$ encontrar $(a,m)$ tal que $\phi (a,m)=24$.

La raiz positiva de $n={\frac {-1+{\sqrt {1+8\lambda }}}{2}}\,$ , es n≈6.4462, entonces $\tau =6$,

$r=\lambda -{\frac {\tau (\tau +1)}{2}}$, luego $r=3$,

entonces $a=\tau -r=6-3=3$,

y $m=r=3$.

Por lo tanto la pareja buscada es $(3,3)$.

Truco para la divergencia de la Serie Armónica

$s_{1}=1+{\frac {1}{2}}$

$t_{1}=1+{\frac {1}{2}}$

---

$s_{2}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}$

$t_{2}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}=2$

---

$s_{3}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}$

$t_{3}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}=2.5$

---

font p/S^1

*This statement is at best correct for some specific examples. It is not a general characterization of a dual space. Furthermore, this statement is not very informative for someone not familiar with the concept, and it is not properly explained in the rest of the article.

Table d'images et math-animé

números hexagonales	variable compleja	esfera en 4d	cubo de cantor
Voronoi	hypercube or tesseract	grafo hamiltoniano de complejo simplicial

the joke

• See some colours joke.^{[cita requerida]}

abdc

defr

$p_{3}3=NnOooII$

$o_{2}=No$

$n_{1}=NnI$

$n_{3}=NnII$

$n_{4}=NnIII$

$n_{5}=NnIV$

Cubo con asas

En las matemáticas en la rama de la topología geométrica, un cubo con asas es un tipo particular de variedad. Los cubos con asas son frecuentemente usados para estudiar a las 3-variedades, sin embargo ellas pueden ser definidas en dimensiones arbitrarias.

Definición general

Sea G un grafo finito y conexo en un espacio euclídeo de dimensión n. Sea V una vecindad regular cerrada de G. Entonces V is un cubo con asas n-dimensional.

En dimensión 3

En dimensión tres uno puede ver que un cubo con asas H es un cuerpo sólido con frontera que consiste en una superficie conexa, orientable y cerrada. O bien un cuerpo sólido que contiene una colección de disco (2-dimensionales) propiamente encajados en H, tales que si cortamos H a lo largo de estos discos lo que queda es una 3-bola. Es intructivo imaginar cómo es el proceso inverso a esto: Uno empieza con una 3-bola, luego vamos a pegar copias de cilindros sólidos, $D\times I$, identificando las tapas del cilindro; $D\times 0$ y $D\times 1$, con dos discos disjuntos en la frontera de la 3-bola. Esto estaría dando a la 3-bola una 1-asa tridimensional. Vamos a pegar cuantas 1-asas sean necesarias para reconstruir al cubo con asas H.

Note que al pegar una 1-asa a una 3-bola se obtiene un toro (matemáticas) sólido.

Cualquiera dos cubos con asas que tiene como frontera una superficie del mismo género son homeomarfos.

Se llama género del cubo con asas al género de la superficie frontera del cubo con asas.

Se puede demostrar que cualquier 3-variedad orientable se puede construir a partir de dos cubos con asas del mismo género $H_{1},\ H_{2}$ pegandolos por su frontera mediante una identificación de las superficies frontera, i.e. mediante un homeomorfismo$f\colon \partial H_{1}\to \partial H_{2}$ y así la tres variedad se puede ver como el espacio cociente $M=H_{1}\cup _{f}H_{2}$.

Para mayor info Enciclopedia de Matemáticas de la Springer Verlag[1]

cat-set

$A\smallsetminus B=\varnothing$

$A\ltimes B,C\rtimes _{f}D$