Usuario:El oso negro/Fuerza de marea para la luna

Las leyes de gravitacional de Newton establecen lo siguiente para una particula de masa m a

una distancia r del centro de una esfera de masa M

${\vec {F_{g}}}=-G{\frac {Mm}{r_{i}^{2}}}{\hat {r}}$

Siendo ${\hat {r}}$ el vector unitario apuntando del cuerpo M a la particula m. Extendamos la descripcion de m a un cuerpo pequeño con extension en el espacio, supongamos que

r es la distancia del centro de M al centro de m y R es el radio de m

entonces, el punto en la superficie esta localizado a una distancia $r_{i}=(r-R)$ del

centro de M.

Tambien podemos verlo como si tuvieramos una particula de agua en la superficie de un cuerpo,

digamos el planeta tierra, de radio R, y lo que tomamos en cuenta es la distancia de la

particula en la superficie y al cuerpo de masa M, supongamos la Luna.

Notese que para este proposito, el único campo gravitacional considerado es el esterno, el campo

gravitacional del cuerpo ens cuestión no es reelevante, entonces ignorando las contribuciones de

la masa m, tenemos la fuerza gravitacional dada como:

${\vec {F_{g}}}=-G{\frac {Mm}{(r-R)^{2}}}{\hat {r}}$

Si sacamos el término $r^{2}$ del denominador, nos da:

${\vec {F_{g}}}=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\frac {1}{(1+R/r)^{2}}}{\hat {r}}$

La serie de Mc Laurin de $1/(1+x)^{2}$ esta dada por $(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}$ Por lo que para $\alpha =-2$ tenemos $1-2x+3x^{2}-...$ Lo que nos da una

expansión en serie:

${\vec {F_{g}}}=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\hat {r}}+G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\color {red}2{\frac {R}{r}}}{\hat {r}}-G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\color {red}3({\frac {R}{r}})^{2}}{\hat {r}}+...$

El primer termino es la fuerza gravitacional tradicional y el resto son terminos de la fuerza de

marea, de los cuales el primero viene a ser el mas signifactivo de todos por lo que nos da el

resultado para fuerza de marea:

${\vec {F_{M}}}\approx G{\frac {2Mm}{r^{2}}}{\frac {R}{r}}{\hat {r}}$

No obstante, si tomamos otro camino podemos calcular la fuerza gravitatoria como si una

particula estuviera en el centro del cuerpo, llamese del planeta, para lo cual usariamos el radio

completo r y nuestra fuerza seria:

${\vec {F_{gc}}}=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\hat {r}}$

Entonces, a la hora de obtener la diferencia $F_{M}=F_{g}-F_{gc}$ Tenemos lo

siguiente:

$F_{M}=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\hat {r}}+G{\frac {Mm}{r^{2}}}2{\frac {R}{r}}{\hat {r}}-(-G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\hat {r}})$

$F_{M}=G{\frac {Mm}{r^{2}}}2{\frac {R}{r}}{\hat {r}}$

¡¡Fuerza de marea!!