Usuario:Edotenorio/Taller

Simetría (física) -borrador

First Brillouin zone of FCC lattice showing symmetry labels

En física, una simetría de un sistema físico es una característica física o matemática del sistema (observada o intrínseca) que se conserva o permanece sin cambios bajo alguna transformación (función).

Una familia de transformaciones particulares pueden ser continuas (como la rotación de un círculo) o Función discreta (por ejemplo, la reflexión (física) de una figura bilateralmente simétrica o la rotación de un polígono regular). Las transformaciones continuas y discretas dan lugar a los correspondientes tipos de simetrías. Las simetrías continuas pueden ser descritas por grupos de Lie, mientras que las simetrías discretas son descritas por grupos finitos (ver Grupo de simetría).

Estos dos conceptos, Grupo de Lie y Grupos finitos, son la base de las teorías fundamentales de la física moderna. Las simetrías son frecuentemente susceptibles a formulaciones matemáticas como las representaciones de grupos y, además, pueden ser explotadas para simplificar muchos problemas.

Podría decirse que el ejemplo más importante de una simetría en física es que la velocidad de la luz tiene el mismo valor en todos los marcos de referencia, que se describe en la Relatividad especial por un grupo de transformaciones del espacio-tiempo conocido como el grupo de Poincaré. Otro ejemplo importante es la invariancia de la forma de las leyes físicas bajo transformaciones arbitrarias de coordenadas diferenciables, que es una idea importante en la Relatividad general.

Un tipo de invariancia[editar]

La invariancia se especifica matemáticamente mediante transformaciones que dejan alguna propiedad (por ejemplo, cantidad) sin cambios. Esta idea puede aplicarse a las observaciones básicas del mundo real. Por ejemplo, la temperatura puede ser homogénea en toda una habitación. Dado que la temperatura no depende de la posición de un observador dentro de la habitación, decimos que la temperatura es invariante bajo un cambio en la posición de un observador dentro de la habitación.

Del mismo modo, una esfera uniforme girada alrededor de su centro aparecerá exactamente como lo hacía antes de la rotación. Se dice que la esfera exhibe simetría esférica. Una rotación sobre cualquier eje de la esfera preservará cómo se "ve" la esfera.

Invariancia en la fuerza [editar]

Las ideas anteriores conducen a la idea útil de la invariancia cuando se discute la simetría física observada; esto también se puede aplicar a las simetrías en las fuerzas.

Por ejemplo, se dice que un campo eléctrico debido a un cable cargado eléctricamente de longitud infinita exhibe simetría cilíndrica, porque la intensidad del campo eléctrico a una distancia dada r del cable tendrá la misma magnitud en cada punto de la superficie de un cilindro (cuyo eje es el cable) con radio r . Girar el cable alrededor de su propio eje no cambia su posición o densidad de carga, por lo tanto, preservará el campo. La intensidad de campo en una posición rotada es la misma. Esto en general no es cierto para un sistema arbitrario de cargas.

En la teoría de la mecánica de Newton, dados dos cuerpos, cada uno con masa m, comenzando en el origen y moviéndose a lo largo del eje x en direcciones opuestas, uno con velocidad v₁ y el otro con velocidad v₂ la energía cinética total del sistema (calculada a partir de un observador en el origen) es 1/2m(v₁² + v₂²) y sigue siendo el mismo si se intercambian las velocidades. La energía cinética total se conserva bajo una reflexión en el eje y.

El último ejemplo anterior ilustra otra forma de expresar simetrías, a saber, a través de las ecuaciones que describen algún aspecto del sistema físico. El ejemplo anterior muestra que la energía cinética total será la misma si se intercambian v₁ y v₂.

Local y global[editar]

Las simetrías pueden clasificarse ampliamente como globales o locales. Una simetría global es aquella que mantiene una propiedad invariante para una transformación que se aplica simultáneamente en todos los puntos del espacio-tiempo, mientras que una simetría local es aquella que mantiene una propiedad invariante cuando se aplica una transformación de simetría posiblemente diferente en cada punto del espacio-tiempo; específicamente una transformación de simetría local está parametrizada por las coordenadas espacio-temporales, mientras que una simetría global no lo es. Esto implica que una simetría global es también una simetría local. Las simetrías locales juegan un papel importante en la física, ya que forman la base de la Teoría de campos.

Continuo[editar]

Los dos ejemplos de simetría rotacional descritos anteriormente, esférico y cilíndrico, son instancias de simetría continua. Estas se caracterizan por la invariancia después de un cambio continuo en la geometría del sistema. Por ejemplo, el cable se puede girar a través de cualquier ángulo alrededor de su eje y la intensidad de campo será la misma en un cilindro dado. Matemáticamente, las simetrías continuas se describen mediante transformaciones que cambian continuamente en función de su parametrización. Una subclase importante de simetrías continuas en física son las simetrías espacio-temporales.

Espacio-tiempo[editar]

Artículo principal: Simetrías espaciotemporales

Grupos de mentiras
mostrar Grupos clásicos
mostrar Grupos de Mentira simples
mostrar Otros grupos de Lie
mostrar Álgebras de Lie
mostrar Álgebra de Lie semisimple
mostrar Teoría de la representación
mostrar Grupos de Lie en física
mostrar Científicos
Glosario Tabla de grupos de Lie
v t e

Las simetrías espacio-temporales continuas son simetrías que implican transformaciones del espacio y el tiempo. Estos pueden clasificarse además como simetrías espaciales, que involucran solo la geometría espacial asociada con un sistema físico; simetrías temporales, que implican sólo cambios en el tiempo; o simetrías espacio-temporales, que implican cambios tanto en el espacio como en el tiempo.

• Traducción de tiempo: Un sistema físico puede tener las mismas características durante un cierto intervalo de tiempo Δt; esto se expresa matemáticamente como invariancia bajo la transformación t → t + a para cualquier parámetro real t y t + a en el intervalo. Por ejemplo, en mecánica clásica, una partícula sobre la que actúa únicamente la gravedad tendrá energía potencial gravitacional mgh cuando esté suspendida desde una altura h sobre la superficie de la Tierra. Suponiendo que no haya cambios en la altura de la partícula, esta será la energía potencial gravitacional total de la partícula en todo momento. En otras palabras, al considerar el estado de la partícula en algún momento t₀ y también en t₀ + a, se conservará la energía potencial gravitacional total de la partícula.
• Traslación espacial: Estas simetrías espaciales están representadas por transformaciones de la forma r→ → r→ + un→ y describir aquellas situaciones en las que una propiedad del sistema no cambia con un cambio continuo de ubicación. Por ejemplo, la temperatura en una habitación puede ser independiente de dónde se encuentra el termómetro en la habitación.
• Rotación espacial: Estas simetrías espaciales se clasifican como rotaciones adecuadas y rotaciones inadecuadas. Las primeras son solo las rotaciones "ordinarias"; matemáticamente, están representados por matrices cuadradas con determinante unitario. Estos últimos están representados por matrices cuadradas con determinante −1 y consisten en una rotación adecuada combinada con una reflexión espacial (inversión). Por ejemplo, una esfera tiene una simetría rotacional adecuada. Otros tipos de rotaciones espaciales se describen en el artículo Simetría de rotación.
• Transformaciones de Poincaré: Son simetrías espacio-temporales que preservan distancias en el espacio-tiempo de Minkowski, es decir, son isometrías del espacio de Minkowski. Se estudian principalmente en relatividad especial. Aquellas isometrías que dejan fijo el origen se denominan transformaciones de Lorentz y dan lugar a la simetría conocida como covarianza de Lorentz.
• Simetrías proyectivas: Son simetrías espacio-temporales que preservan la estructura geodésica del espacio-tiempo. Pueden definirse en cualquier variedad lisa, pero encuentran muchas aplicaciones en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general.
• Transformaciones de inversión: Son simetrías espacio-temporales que generalizan las transformaciones de Poincaré para incluir otras transformaciones conformales uno a uno en las coordenadas espacio-temporales. Las longitudes no son invariantes bajo transformaciones de inversión, pero hay una relación cruzada en cuatro puntos que es invariante.

Matemáticamente, las simetrías espacio-temporales generalmente se describen mediante campos vectoriales lisos en una variedad lisa. Los difeomorfismos locales subyacentes asociados con los campos vectoriales corresponden más directamente a las simetrías físicas, pero los campos vectoriales en sí mismos se utilizan con mayor frecuencia al clasificar las simetrías del sistema físico.

Algunos de los campos vectoriales más importantes son los campos vectoriales Killing, que son aquellas simetrías espaciotemporales que preservan la estructura métrica subyacente de una variedad. En términos aproximados, los campos vectoriales killing preservan la distancia entre dos puntos cualesquiera de la variedad y a menudo reciben el nombre de isometrías.

Discreto[editar]

Artículo principal: Simetría discreta

Una simetría discreta es una simetría que describe cambios no continuos en un sistema. Por ejemplo, un cuadrado posee una simetría rotacional discreta, ya que solo las rotaciones por múltiplos de ángulos rectos preservarán la apariencia original del cuadrado. Las simetrías discretas a veces implican algún tipo de 'intercambio', estos intercambios generalmente se llaman reflexiones o intercambios.

• Inversión del tiempo: Muchas leyes de la física describen fenómenos reales cuando la dirección del tiempo se invierte. Matemáticamente, esto está representado por la transformación, . Por ejemplo, la segunda ley del movimiento de Newton todavía se mantiene si, en la ecuación ,  se sustituye por . Esto se puede ilustrar registrando el movimiento de un objeto lanzado verticalmente (descuidando la resistencia del aire) y luego reproduciéndolo. El objeto seguirá la misma trayectoria parabólica a través del aire, ya sea que la grabación se reproduzca normalmente o al revés. Por lo tanto, la posición es simétrica con respecto al instante en que el objeto está en su altura máxima.
• Inversión espacial: Se representan mediante transformaciones de la forma  e indicar una propiedad de invariancia de un sistema cuando las coordenadas están "invertidas". Dicho de otra manera, estas son simetrías entre un determinado objeto y su imagen especular.
• Reflexión deslizante: Están representadas por una composición de una traducción y una reflexión. Estas simetrías ocurren en algunos cristales y en algunas simetrías planas, conocidas como simetrías de papel tapiz.

C, P y T[editar]

Artículo principal: Experimento Wu

El Modelo Estándar de la física de partículas tiene tres casi simetrías naturales relacionadas. Estos establecen que el universo en el que vivimos debe ser indistinguible de uno donde se introduce un cierto tipo de cambio.

• C-simetría (simetría de carga), un universo donde cada partícula es reemplazada por su antipartícula
• P-simetría (simetría de paridad), un universo donde todo se refleja a lo largo de los tres ejes físicos. Esto excluye las interacciones débiles como lo demuestra Chien-Shiung Wu.

• T-simetría (simetría de inversión de tiempo), un universo donde la dirección del tiempo se invierte. La simetría T es contraintuitiva (el futuro y el pasado no son simétricos) pero se explica por el hecho de que el Modelo Estándar describe propiedades locales, no globales como la entropía. Para invertir adecuadamente la dirección del tiempo, uno tendría que poner el Big Bang y el estado de baja entropía resultante en el "futuro". Dado que percibimos que el "pasado" ("futuro") tiene una entropía más baja (superior) que el presente, los habitantes de este hipotético universo invertido en el tiempo percibirían el futuro de la misma manera que percibimos el pasado, y viceversa.

Estas simetrías son casi simetrías porque cada una está rota en el universo actual. Sin embargo, el Modelo Estándar predice que la combinación de las tres (es decir, la aplicación simultánea de las tres transformaciones) debe ser una simetría, llamada simetría CPT. La violación de CP, la violación de la combinación de simetría C y P, es necesaria para la presencia de cantidades significativas de materia bariónica en el universo. La violación de CP es un área fructífera de la investigación actual en física de partículas.

Esta sección puede contener partes engañosas. Por favor, ayude a aclarar este artículo de acuerdo con cualquier sugerencia proporcionada en la página de discusión. (Junio 2015)

Supersimetría[editar]

Artículo principal: Supersimetría

Se ha utilizado un tipo de simetría conocida como supersimetría para tratar de hacer avances teóricos en el Modelo Estándar. La supersimetría se basa en la idea de que existe otra simetría física más allá de las ya desarrolladas en el Modelo Estándar, específicamente una simetría entre bosones y fermiones. La supersimetría afirma que cada tipo de bosón tiene, como socio supersimétrico, un fermión, llamado supersocio, y viceversa. La supersimetría aún no se ha verificado experimentalmente: ninguna partícula conocida tiene las propiedades correctas para ser un supersocio de cualquier otra partícula conocida. Actualmente, el LHC se está preparando para una carrera que prueba la supersimetría.

Matemáticas de la simetría física[editar]

Artículo principal: Grupo de simetría

Ver también: Simetría en mecánica cuántica y Simetrías en relatividad general

Las transformaciones que describen simetrías físicas suelen formar un grupo matemático. La teoría de grupos es un área importante de las matemáticas para los físicos.

Las simetrías continuas se especifican matemáticamente por grupos continuos (llamados grupos de Lie). Muchas simetrías físicas son isometrías y se especifican por grupos de simetría. A veces este término se usa para tipos más generales de simetrías. El conjunto de todas las rotaciones apropiadas (aproximadamente cualquier ángulo) a través de cualquier eje de una esfera forman un grupo de Lie llamado grupo ortogonal especial SO(3). (El '3' se refiere al espacio tridimensional de una esfera ordinaria.) Por lo tanto, el grupo de simetría de la esfera con rotaciones adecuadas es SO(3). Cualquier rotación conserva las distancias en la superficie de la pelota. El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forman un grupo llamado grupo de Lorentz (esto puede generalizarse al grupo de Poincaré).

Los grupos discretos describen simetrías discretas. Por ejemplo, las simetrías de un triángulo equilátero se caracterizan por el grupo simétrico S₃.

Un tipo de teoría física basada en simetrías locales se llama teoría de gauge y las simetrías naturales de dicha teoría se llaman simetrías de gauge. Las simetrías de gauge en el Modelo Estándar, utilizadas para describir tres de las interacciones fundamentales, se basan en el grupo SU(3) × SU(2) × U(1). (En términos generales, las simetrías del grupo SU(3) describen la fuerza fuerte, el grupo SU(2) describe la interacción débil y el grupo U(1) describe la fuerza electromagnética.)

Además, la reducción por simetría de la energía funcional bajo la acción de un grupo y la ruptura espontánea de la simetría de las transformaciones de grupos simétricos parecen dilucidar temas en física de partículas (por ejemplo, la unificación del electromagnetismo y la fuerza débil en cosmología física).

Leyes de conservación y simetría[editar]

Artículo principal: Teorema de Noether

Las propiedades de simetría de un sistema físico están íntimamente relacionadas con las leyes de conservación que caracterizan a ese sistema. El teorema de Noether da una descripción precisa de esta relación. El teorema establece que cada simetría continua de un sistema físico implica que se conserva alguna propiedad física de ese sistema. Por el contrario, cada cantidad conservada tiene una simetría correspondiente. Por ejemplo, la simetría de traslación espacial (es decir, la homogeneidad del espacio) da lugar a la conservación del momento (lineal), y la simetría de traducción temporal (es decir, la homogeneidad del tiempo) da lugar a la conservación de la energía.

La siguiente tabla resume algunas simetrías fundamentales y la cantidad conservada asociada.

Clase	Invariancia	Cantidad conservada
Simetría ortocrónica adecuada de Lorentz	traducción en el tiempo (homogeneidad))	energía
	traducción en el espacio (homogeneidad))	momento lineal
	rotación en el espacio (isotropía))	momento angular
	Lorentz-boost (isotropía))	momento de masa N = tp − Er
Simetría discreta	P, inversión de coordenadas	paridad espacial
	C, conjugación de carga	paridad de carga
	T, inversión de tiempo	paridad de tiempo
	CPT	producto de paridades
Simetría interna (independiente de las coordenadas espacio-temporales))	Transformación de calibre U(1)	carga eléctrica
	Transformación de calibre U(1)	número de generación de leptones
	Transformación de calibre U(1)	hipercarga
	Transformación del medidor U(1)Y	hipercarga débil
	U(2) [ U(1) × SU(2) ]	fuerza electrodébil
	Transformación de calibre SU(2)	isospin
	Transformación del medidor SU(2)L	isoespín débil
	P × SU(2)	Paridad G
	SU(3) "número de bobinado"	número bariónico
	Transformación de calibre SU(3)	color quark
	SU(3) (aproximado)	sabor quark
	S(U(2) × U(3)) [ U(1) × SU(2) × SU(3) ]	Modelo estándar

Matemáticas[editar]

Las simetrías continuas en física preservan las transformaciones. Se puede especificar una simetría mostrando cómo una transformación muy pequeña afecta a varios campos de partículas. El conmutador de dos de estas transformaciones infinitesimales es equivalente a una tercera transformación infinitesimal del mismo tipo, por lo tanto, forman un álgebra de Lie.

Una transformación de coordenadas generales descrita como el campo general  (también conocido como difeomorfismo) tiene el efecto infinitesimal sobre un escalar , espinor  o campo vectorial  que se puede expresar (usando la convención de suma de Einstein):

Sin gravedad sólo se conservan las simetrías de Poincaré lo que restringe  ser de la forma:

donde M es una matriz antisimétrica (dando las simetrías de Lorentz y rotacional) y P es un vector general (dando las simetrías traslacionales). Otras simetrías afectan a múltiples campos simultáneamente. Por ejemplo, las transformaciones de gauge local se aplican tanto a un campo vectorial como a un espinor:

dónde  son generadores de un grupo de Lie en particular. Hasta ahora las transformaciones de la derecha solo han incluido campos del mismo tipo. Las supersimetrías se definen de acuerdo con la forma en que se mezclan los campos de diferentes tipos.

Otra simetría que forma parte de algunas teorías de la física y no en otras es la invariancia de escala que involucra transformaciones de Weyl del siguiente tipo:

Si los campos tienen esta simetría, entonces se puede demostrar que la teoría de campos es casi seguramente invariante de conformidad también. Esto significa que en ausencia de gravedad h(x) se restringiría a la forma:

con D generando transformaciones de escala y K generando transformaciones conformales especiales. Por ejemplo, N = 4 la teoría del super-Yang-Mills tiene esta simetría, mientras que la relatividad general no, aunque otras teorías de la gravedad como la gravedad conforme sí. La "acción" de una teoría de campos es un invariante bajo todas las simetrías de la teoría. Gran parte de la física teórica moderna tiene que ver con especular sobre las diversas simetrías que el Universo puede tener y encontrar los invariantes para construir teorías de campo como modelos.

En las teorías de cuerdas, dado que una cadena se puede descomponer en un número infinito de campos de partículas, las simetrías en la hoja del mundo de cuerdas son equivalentes a transformaciones especiales que mezclan un número infinito de campos.

Véase también[editar]

• Conservación de corriente y carga
• Sin coordenadas
• Covarianza y contravarianza
• Fuerza ficticia
• Invariancia galileana
• Principio de covarianza
• Covarianza general
• Condición de coordenadas armónicas
• Marco de referencia inercial
• Lista de temas matemáticos en relatividad
• Modelo estándar (formulación matemática)
• Teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman

Referencias[editar]

Lectores generales[editar]

• Leon Lederman y Christopher T. Hill (2005) La simetría y el universo hermoso. Amherst NY: Prometheus Books.
• Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things. Johns Hopkins Univ. Prensa.
• Victor J. Stenger (2000) Realidad atemporal: simetría, simplicidad y universos múltiples. Buffalo NY: Prometheus Books. Cap. 12 es una suave introducción a la simetría, la invariancia y las leyes de conservación.
• Anthony Zee (2007) Fearful Symmetry: The search for beauty in modern physics, 2nd ed. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00946-9. 1986 1ª ed. publicada por Macmillan.

Lectores técnicos[editar]

• Brading, K., y Castellani, E., eds. (2003) Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Prensa.
• -------- (2007) "Symmetries and Invariances in Classical Physics" en Butterfield, J., y John Earman, eds., Philosophy of Physic Part B. Holanda Septentrional: 1331-68.
• Debs, T. y Redhead, M. (2007) Objetividad, invariancia y convención: simetría en ciencias físicas. Harvard Univ. Prensa.
• John Earman (2002) "Laws, Symmetry, and Symmetry Breaking: Invariance, Conservations Principles, and Objectivity". Discurso en la reunión de 2002 de la Asociación de Filosofía de la Ciencia.
• G. Kalmbach H.E.: Matemáticas Cuánticas: WIGRIS. RGN Publications, Delhi, 2014
• Mainzer, K. (1996) Simetrías de la naturaleza. Berlín: De Gruyter.
• Mouchet, A. "Reflexiones sobre las cuatro facetas de la simetría: cómo la física ejemplifica el pensamiento racional". European Physical Journal H 38 (2013) 661 hal.archives-ouvertes.fr:hal-00637572
• Thompson, William J. (1994) Momento angular: una guía ilustrada de simetrías rotacionales para sistemas físicos. Wiley. ISBN 0-471-55264-X.
• Bas Van Fraassen (1989) Leyes y simetría. Oxford Univ. Prensa.
• Eugene Wigner (1967) Simetrías y reflexiones. Indiana Univ. Prensa.

Enlaces externos[editar]

• The Feynman Lectures on Physics Vol. I Cap. 52: Symmetry in Physical Laws (Las conferencias de Feynman sobre física Vol. I Cap. 52: Simetría en las leyes físicas)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Symmetry"—por K. Brading y E. Castellani.
• Ayudas pedagógicas a la teoría cuántica de campos Haga clic en el enlace al Capítulo 6: Simetría, invariancia y conservación para obtener una introducción simplificada y paso a paso a la simetría en física.