Usuario:Dayana EC/Taller

El wronskiano y dependencia lineal (DAMA)

Las funciones $X_{1}(t),...,X_{n}(t)$ son linealmente independientes en un intervalo $[a,b]$ si solo si, se cumple que para todo $t\in [a,b]$, $\alpha _{1}X_{1}(t)+...+\alpha _{n}X_{n}(t)=0$ con $\ \alpha _{1},...,\alpha _{n}\in \mathbb {R}$, solo es posible cuando $\alpha _{1}=...=\alpha _{n}=0$.

Nótese que si existe un ${\tilde {t}}\in [a,b]$ tal que lo anterior no se cumple entonces no se cumple para ningún punto en $[a,b]$, por tanto, las funciones no son linealmente independientes en el intervalo.

Esta independencia lineal se prueba mediante el Wronskiano, es decir, si el $W[X_{1},...,X_{n}](t)\neq 0$ para todo $t\in [a,b]$ entonces las funciones son linealmente independientes en $[a,b]$.

Ejemplo

Las funciones $C^{1}([-1,1];\mathbb {R} )$ dadas por:

$X_{1}(t)={\begin{pmatrix}t^{3}\\3t^{2}\end{pmatrix}},\quad \quad X_{2}(t)=\left\{{\begin{matrix}{\begin{pmatrix}-t^{3}\\-3t^{2}\end{pmatrix}},&t\in [-1,0],\\{\begin{pmatrix}t^{3}\\3t^{2}\end{pmatrix}},&t\in (0,1],\end{matrix}}\right.\quad$

son evidentemente linealmente independientes. Sin embargo, es inmediato comprobar que $W[X_{1},X_{2}](t)=0$ para todo $t\in [-1,1]$.

Este ejemplo muestra que el Wronskiano no es útil a la hora de determinar la independencia lineal de funciones arbitrarias. Sin embargo, sí es útil para determinar la independencia lineal de un sistema lineal homogéneo de orden 1 y dimensión $n$.

En lo que sigue, se considerarán sistemas de la forma $X'(t)=A(t)X(t)$, donde $A(t)$ es una matriz $n\times n$ y $t\in [a,b]$.

Teorema

Sean $X_{1},...,X_{n}$ soluciones del sistema lineal homogéneo en el intervalo $[a,b]$. Dichas soluciones son linealmente independientes en un punto $t_{0}\in [a,b]$ si y solo si lo son en todo el intervalo.

A continuación se demostrará utilizando el Teorema de Picard-Lindelöf

Demostración

Sabemos que un conjunto de funciones $X_{1}(t),...,X_{n}(t)$ es linealmente independiente en $t_{0}\in [a,b]$ si la ecuación $\alpha _{1}X_{1}(t_{0})+...+\alpha _{n}X_{n}(t_{0})=0$ se verifica si y solo si $\alpha _{1}=\ ...\ =\alpha _{n}=0$. Definimos la función auxiliar $G(t)=\alpha _{1}X_{1}(t)+...+\alpha _{n}X_{n}(t)$. Como $X_{1},...,X_{n}$ son soluciones del sistema lineal homogéneo, cualquier combinación lineal de ellas es también solución. Por tanto $G(t)$ verifica la ecuación diferencial matricial: $G'=AG,\quad t\in [a,b],\quad G(t_{0})=0.$ Por el Teorema de Existencia y Unicidad, $G\equiv 0$ es la única solución. Por tanto, $\alpha _{1}X_{1}(t)+...+\alpha _{n}X_{n}(t)=0$ si y solo si $\alpha _{1}=\ ...\ =\alpha _{n}=0$. Con esto se concluye que $X_{1},...,X_{n}$ son linealmente independientes en todo $[a,b]$.

Aplicación del teorema en algunos ejemplos

• Considérese las funciones $X_{1}(t)=t^{2},$$X_{2}(t)=t,$ y $X_{3}(t)=1,$ definidas para un número real t. Obténgase el wronskiano:

$W={\begin{vmatrix}t^{2}&t&1\\2t&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.$

Se ve que $W$ no es idénticamente $0$, así que estas funciones deben ser linealmente independientes.

• Sean $X_{1}(t)=2t^{2}+3$, $X_{2}(t)=t^{2}$, y $X_{3}(t)=1$ soluciones de un sistema lineal homogeneo. Estas funciones son claramente dependientes, ya que $2t^{2}+3=2(t^{2})+3(1)$. Así, el wronskiano debe ser cero, siguiendo un pequeño cálculo:

$W={\begin{vmatrix}2t^{2}+3&t^{2}&1\\4t&2t&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8t-8t=0.$

Como toda ecuación diferencial lineal de orden $n$ se puede escribir en forma de sistema de orden 1 y tamaño $n$, podemos emplear este teorema para determinar la dependencia lineal de un conjunto de soluciones de dicha ecuación. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuación diferencial lineal de segundo orden son independientes, se puede usar el wronskiano

Véase también

• Identidad de Abel
• Teorema de Picard-Lindelöf
• Liouville's formula (en inglés)

Referencias

1. Teschl, Gerald (2012). Ordinary differential equations and dynamical systems (en inglés). American Mathematical Society.