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Usuario:DaniFlumen/Taller

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Existencia y unicidad de soluciones de PVI lineales de orden n

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1. Podemos escribir toda ecuación diferencial de orden como un sistema de orden y dimensión . Definimos para de tal manera que queda la relación .

Soluciones de la EDO x'-x+t=0

Además,


Escrito en forma matricial:

,



donde es una matriz de dimensiones , y

es el vector columna cuyo única componente no nula es .

Si definimos , el sistema se puede escribir como . La función es continua respecto a las dos variables.

2. Sea , puesto que es una función continua en sus dos variables, para poder aplicar el Teorema de Picard-Lindelöf solo falta comprobar que es Lipschitz respecto a (uniformemente en ). En lo que sigue, usaremos la norma euclídea de un vector, denotada como , donde , para , son las componentes del vector .

.

Sea , acotamos el ultimo término de la suma,

.

Por la desigualdad triangular de la norma euclídea,


.

Obtenemos .

Por lo que tiene constante de Lipschitz .

3. Finalmente, tras haber comprobado que la primera componente, , tiene derivadas y que satisface la ecuación diferencial, vemos que se cumplen las hipótesis del Teorema de Picard-Lindelöf, por lo que queda demostrado que el problema tiene existencia y unicidad de soluciones dadas unas condiciones iniciales.

Ejemplo

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Sea el problema de valores iniciales:

Vamos a transformarlo en un sistema de ecuaciones:

con condiciones iniciales:

Sea podemos escribir el sistema como:

, donde A es la matriz , b es el vector vector y las condiciones iniciales son .

Ahora, aplicando el método anteriormente descrito:

Sea

En este caso

por lo que hay unicidad y existencia de soluciones para dicho PVI.

Borrador versión 2, por Daniel Ríos Palencia, Asier Fernández Arrazola, Wen Jie Gou Zhou y Lucía Ulecia Rivas.