Normalmente se suele hablar de las proporciones áureas aplicadas en el plano. Si se amplia este concepto al espacio, usando una tercera dimensión, nos encontramos con esta figura.
Un ortoedro o cuboide es un paralelepípedo ortogonal , es decir, cuyas caras forman entre sí ángulos diedros rectos . Los ortoedros son prismas rectangulares rectos , y también son llamados paralelepípedos rectangulares .
Un ortoedro áureo es un ortoedro en el que sus lados tienen las dimensiones de los segmentos de las proporciones áureas , esto es:
Dando a una de las dimensiones el valor de la unidad: 1 , la otra tendría el valor de φ , y la otra de la suma de las dos, φ + 1 .
Ortoedro con proporciones áureas
Cálculo de la diagonal Espacial [ editar ]
Valor de la diagonal espacial (entre los vértices opuestos).
Basándonos en el Teorema de Pitágoras , en particular en su extensión en el espacio , podemos calcular la diagonal espacial del ortoedro de la siguiente forma:
D
=
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle D\,=\,{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}
Siendo a , b y c los lados del ortoedro, substituimos por su valor y obtenemos:
D
=
(
φ
+
1
)
2
+
φ
2
+
1
2
{\displaystyle D\,=\,{\sqrt {(\varphi +1)^{2}+\varphi ^{2}+1^{2}}}}
D
=
φ
2
+
2
φ
+
1
2
+
φ
2
+
1
2
{\displaystyle D\,=\,{\sqrt {\varphi ^{2}+2\varphi +1^{2}+\varphi ^{2}+1^{2}}}}
D
=
2
φ
2
+
2
φ
+
2
{\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2\varphi ^{2}+2\varphi +2}}}
S
i
e
n
d
o
:
φ
=
1
+
5
2
≈
1
,
618033988749894848204586834365638117720309...
{\displaystyle Siendo:\,\varphi =\,{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx \,1,618033988749894848204586834365638117720309...}
D
=
2
(
1
+
5
2
)
2
+
2
1
+
5
2
+
2
=
6
+
2
5
{\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}+2{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}+2}}=\,{\sqrt {6+2{\sqrt {5}}}}}
S
i
e
n
d
o
:
(
1
+
5
)
2
=
1
+
2
5
+
5
=
6
+
2
5
{\displaystyle Siendo:\,\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{2}=1+2{\sqrt {5}}+5=6+2{\sqrt {5}}}
D
=
1
+
5
=
2
φ
≈
3
,
2360679775
{\displaystyle D\,=\,1+{\sqrt {5}}=\,2\varphi \,\approx \,3,2360679775}
Ortoedro aureo con dimensiones en función de φ
De forma más elegante:
Vemos que:
φ
2
=
φ
+
1
{\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1\ }
φ
2
=
(
1
+
5
)
2
2
2
=
1
+
2
5
+
5
2
2
=
6
+
2
5
2
2
=
3
+
5
2
{\displaystyle \varphi ^{2}={\frac {(1+{\sqrt {5}})^{2}}{2^{2}}}={\frac {1+2{\sqrt {5}}+5}{2^{2}}}={\frac {6+2{\sqrt {5}}}{2^{2}}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}
φ
+
1
=
1
+
5
2
+
2
2
=
3
+
5
2
{\displaystyle \varphi +1={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}+{\frac {2}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}
Entonces:
D
=
2
φ
2
+
2
φ
+
2
{\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2\varphi ^{2}+2\varphi +2}}}
D
=
2
(
φ
+
1
)
+
2
φ
+
2
{\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2(\varphi +1)+2\varphi +2}}}
D
=
4
φ
+
4
{\displaystyle D\,=\,{\sqrt {4\varphi +4}}}
D
=
4
(
φ
+
1
)
=
4
φ
2
=
2
φ
{\displaystyle D\,=\,{\sqrt {4(\varphi +1)}}=\,{\sqrt {4\varphi ^{2}}}=\,2\varphi }
Aplicando estos resultados nos encontramos con un octoedro en el que sus lados miden:
a
=
φ
2
,
b
=
φ
,
c
=
(
φ
2
−
φ
)
{\displaystyle a=\varphi ^{2},\,b=\varphi ,\,c=(\varphi ^{2}-\varphi )\,}
y cuya diagonal es
D
=
2
φ
{\displaystyle D=2\varphi }
Véase también [ editar ]