Usuario:A123321b/Espacios de Bergman

En el análisis complejo, en el análisis funcional y en la teoría de operadores, un espacio de Bergman​, llamado así por Stefan Bergman, es un espacio de funciones holomorfas en un dominio $D$ del plano complejo que se comportan suficientemente bien en el límite para ser absolutamente integrables . Más concretamente, para $0<p<\infty$, el espacio de Bergman $A^{p}(D)$ se define como el espacio de las funciones holomorfas $f$ en $D$ para el cual la norma p es finita:

$$\|f\|_{A^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(w)|^{p}\,dA(w)\right)^{1/p}<\infty .$$

donde $dA=dxdy$ representa la media del área. A veces, cuando $D$ tiene medida finita $dA$ representa la medida del área normalizada, es decir, $dA={\frac {dxdy}{{\acute {a}}rea(D)}}$.

Así $A^{p}(D)$ es la intersección del espacio $L^{p}(D)$ y el espacio de funciones holomorfas en $D$. La cantidad $\|f\|_{A^{p}(D)}$ se denomina la norma de la función $f$ es una verdadera norma si $p\geq 1$. Los espacios de Bergman en este caso son espacios de Banach (normados y completos). Esto es consecuencia de la siguiente estimación, donde $K$ denota un subconjunto compacto de $D$ cualquiera,

$$\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{p}(D)}.$$

De esta estimación se concluye que el espacio es cerrado dentro de $L^{p}(D)$. Ya que demuestra que la convergencia en la norma de $L^{p}(D)$ implica convergencia uniforme sobre compactos.

Núcleo reproductor de Bergman

Si $p=2$, entonces $A^{p}(D)$ es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor. Este núcleo reproductor se conoce como núcleo de Bergman y se suele denotar por $K(z,w)$. Así que, se cumple para toda función $f\in A^{2}(D)$ lo siguiente,

$$f(z)=\int _{D}f(w)K(z,w)dw.$$

En el disco unidad $\mathbb {D} \subset \mathbb {C}$ el núcleo de Bergman tiene la siguiente expresión

$$K(z,w)={\frac {1}{(1-z{\overline {w}})^{2}}},\quad z\in \mathbb {D} .$$

Además, en este caso la propiedad mencionada anteriormente es generalizable a los espacios $A^{p}(\mathbb {D} )$ con $1\leq p<\infty$, es decir, para toda $f\in A^{p}(\mathbb {D} )$ se tiene,

$$f(z)=\int _{\mathbb {D} }f(w)K(z,w)dA(w).$$

Aquí $dA={\frac {1}{\pi }}dxdy$ denota la medida normalizada de Lebesgue.

Proyección de Bergman

Se conoce como la proyección de Bergman, $\mathbb {P}$, al siguiente operador que envía toda función de $L^{p}(\mathbb {D} )$, con $1\leq p<\infty$ en una función holomorfa en el disco unidad y toda función de $A^{p}(\mathbb {D} )$ en sí misma,

$$\mathbb {P} f(z)=\int _{\mathbb {D} }f(w)K(z,w)dw=\int _{\mathbb {D} }{\frac {f(w)}{(1-z{\overline {w}})^{2}}}dw.$$

En el caso $p=2$ se trata de una proyección ortogonal. Para $1<p<\infty$c es un operador acotado. La acotación para $p\neq 2$ no es trivial, la demostración y información adicional sobre este operador así como los espacios de Bergman se puede consultar en ​.

Espacios duales

Para $1<p<\infty$, el espacio dual del espacio de Bergman $A^{p}(D)$ es el espacio $A^{q}(D)$ donde $q$ es el exponente conjugado de $p$.

Véase también

• Núcleo de Bergman
• Espacio de Banach
• Espacio de Hilbert
• Espacios de Hardy
• Espacios $L^{p}$
• Función holomorfa