Traza parcial

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En el álgebra lineal y el análisis funcional, la traza parcial es una generalización de la traza. Mientras que la traza es una función a valores escalares sobre operadores, la traza parcial es una función operador-valorada. La traza parcial tiene usos en la interpretación de estados relativos (Many-worlds) de la mecánica cuántica.

Los detalles[editar]

Supóngase V, W son espacios vectoriales sobre un cuerpo finito-dimensionales de dimensiones m, n respectivamente. La traza parcial TrV es una función

Se define como sigue: sea

y

bases para V y W respectivamente; entonces T tiene una representación matricial

relativo a la base

de

.

Ahora para los índices k, i en el rango 1,...,m, considérese la suma:

esto da una matriz bk, i. El operador lineal asociado en V es independiente de la elección de bases y es por definición la traza parcial.

Por ejemplo,

el operador de traza parcial puede ser caracterizado invariantemente como sigue: Es el único operador lineal

tal que


Traza parcial para los operadores en los espacios de Hilbert[editar]

La traza parcial se generaliza a los operadores en los espacios de Hilbert infinito dimensionales. Supóngase V, W son espacios de Hilbert, y sea

una base ortonormal para W. Hay un isomorfismo isométrico

Bajo esta descomposición, cualquier operador se puede mirar como matriz infinita de operadores en V


primero supóngase que T es un operador no negativo. En este caso, todas las entradas diagonales de la matriz antedicha son operadores no negativos en V. Si la suma

converge en la topología fuerte de operadores de L(V), es independiente de la base elegida de W. La traza parcial TrV(T) se define como este operador. La traza parcial de un operador autoadjunto está definida ssi las trazas parciales de las partes positiva y negativa están definidas.

Computando la traza parcial[editar]

Supóngase que W tiene una base ortonormal, que denotamos por la notación vectorial de ket como . Entonces

Traza parcial e integración invariante[editar]

En el caso de los espacios de Hilbert finito dimensionales, hay una manera útil de ver la traza parcial que implica la integración con respecto a una medida de Haar convenientemente normalizada μ sobre el grupo unitario U(W) de W. Convenientemente normalizada significa que μ se toma como una medida con masa total igual a la dim(W).

Teorema. Supóngase V, W son espacios de Hilbert finito dimensionales. Entonces

conmuta con todos los operadores de la forma y por tanto es unívocamente de la forma . El operador R es la traza parcial de T.