Transformación conforme

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En matemáticas, una transformación conforme es una función que preserva ángulos. En el caso más común la función es entre dominios del plano complejo.

Análisis complejo[editar]

En el análisis complejo, una transformación conforme es una función f\colon A\rightarrow\mathbb{C}, diferenciable en z_0\in A\subset \mathbb{C}, que preserva el ángulo que dos curvas

\alpha\colon [a,b]\rightarrow A y \beta \colon [a,b]\rightarrow A, diferenciables en \alpha^{-1}\,(z_0) y \beta^{-1}\,(z_0), respectivamente, forman entre sí en z_0. Es decir f es conforme en z_0 cuando se verifica

 \arg \left[ \frac{(f\circ \alpha)'(z_0)}{(f\circ \beta)'(z_0)} \right] = \arg \left[ \frac{ \alpha '(z_0)}{\beta '(z_0)} \right] ,

siempre y cuando \alpha\,'(z_0) y \beta\, '(z_0)\, sean vectores tangentes no nulos.

Una definición equivalente es que una función es conforme si y solamente si es holomorfa o antiholomorfa (es decir conjugada de una holomorfa) y su derivada es por todas partes diferente a cero. El teorema de representación conforme de Riemann establece que cualquiera subconjunto propio abierto y simplemente conexo de C admite una función conforme sobre un disco unitario abierto en C.

Una función del plano complejo extendido (que es equivalente conforme a una esfera) sobre sí mismo es conforme (si y sólo si) es una transformación de Moebius o su conjugada.