Test de Dini

En matemáticas, los tests de Dini y de Dini-Lipschitz son procedimientos muy precisos que pueden usarse para probar que la serie de Fourier de una función converge en un punto dado. Reciben su nombre de Ulisse Dini y Rudolf Lipschitz.​

Definición

Sea $f$ una función definida en $[0,2\pi ]$, sea $t$ un punto y $\delta$ una constante positiva. Definimos el módulo local de continuidad en el punto $t$ como

$\left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|$

Nótese que se considera $f$ una función periódica. Por ejemplo, si $t=0$ y $\epsilon$ es negativo, se tiene $f(\epsilon )=f(2\pi +\epsilon )$.

El módulo global de continuidad (o, simplemente, módulo de continuidad) se define como

$\omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)$

Con estas definiciones se pueden enunciar los resultados principales

Teorema (test de Dini): Supongamos que una función $f$ satisface en un punto $t$ que

$\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .$

Entonces la serie de Fourier de $f$ converge en $t$ a $f(t)$.

Por ejemplo, el teorema se cumple con $\omega _{f}=\log ^{-2}\left({\frac {1}{\delta }}\right)$ pero no con $\log ^{-1}\left({\frac {1}{\delta }}\right)$.

Teorema (test de Dini-Lipschitz): Supongamos que una función $f$ satisface

$\omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.$

Entonces la serie de Fourier de $f$ converge uniformemente a $f$.

En particular, cualquier función de una clase de Hölder satisface el test de Dini-Lipschitz.

Precisión

Ambos tests son lo mejor que pueden ser. Para el test de Dini-Lipschitz, es posible construir una función $f$ cuyo módulo de continuidad satisface el test con $O$ en lugar de $o$, esto es,

$\omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.$

y la serie de Fourier de $f$ diverge. Para el test de Dini, la afirmación más precisa es un poco más larga. Afirma que para cualquier función $\Omega$ tal que

$\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty$

existe una función $f$ tal que

$\omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta )$

y la serie de Fourier de $f$ diverge en 0.

Véase también

• Convergencia de series de Fourier
• Continuidad de Dini
• Criterio de Dini

Referencias

• Datos: Q898252