En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto (o producto Hadamard) de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).
Sean
y
dos funciones cuya convolución se expresa con
.
(notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo
).
Sea
el operador de la transformada de Fourier, con lo que
y
son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.
Entonces
![{\displaystyle {\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb25a0be1c3d0d19679e4f831627125d92d9a84)
donde · indica producto punto a punto. También puede afirmarse que:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}[f\cdot g]={\frac {{\mathcal {F}}[f]*{\mathcal {F}}[g]}{\sqrt {2\pi }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d2a3f67ea5f3b38e3f59a593e673f2d2ae711d)
Aplicando la transformada inversa de Fourier
, podemos escribir:
![{\displaystyle f*g={\sqrt {2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}[{\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfa8c019fd229f5c63ecc9f077b318e72fe4b82)
Demostración[editar]
La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de
que son inconvenientes aquí. Sean
Sean
la transformada de Fourier de
y
la transformada de Fourier de
:
![{\displaystyle F(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f79e73d913b2b08415d08f53955f6f6a3dba2c)
.
Sea
la convolución de
y
![{\displaystyle h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23580bdccf72a678f49a668b6047ae584760272d)
Nótese que
![{\displaystyle \int \int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49932481815320ba43cdc11f5a57759f99e5ddee)
Del teorema de Fubini tenemos que
, así que su transformada de Fourier está definida.
Sea
la transformada de Fourier de
:
![{\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd6207db4236a7c26a1f03713047b8e233c3732)
Obsérvese que
y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:
![{\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz\right)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd3bdb9289f629fe789cfe2bbd64078438ef16c)
Sustituyendo
; tenemos
, y por lo tanto:
![{\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }\,dy\right)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25df4bc5bbc26bb5dfc071e017be014fee9e09f0)
![{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy\right)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5d94c72b0a4e7781aed625ef15361c905b49c9)
![{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102a513e1aabdbd846cd00fdaf98c59136db78dd)
Estas dos integrales son las definiciones de
y
, así que:
![{\displaystyle H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8fbd88e7d77a7719888848ccbcfbf7bc706dd17)
Que es lo que queríamos demostrar.