Teorema de convolución

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En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean y dos funciones cuya convolución se expresa con . (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

Entonces

donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:

Aplicando la transformada inversa de Fourier , podemos escribir:

Demostración[editar]

La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de que son inconvenientes aquí. Sean

Sean la transformada de Fourier de y la transformada de Fourier de :

.

Sea la convolución de y

Nótese que

Del teorema de Fubini tenemos que , así que su transformada de Fourier está definida. Sea la transformada de Fourier de :

Obsérvese que y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:

Sustituyendo ; tenemos , y por lo tanto:

Estas dos integrales son las definiciones de y , así que:

Que es lo que queríamos demostrar.