Teorema de Szemerédi

En combinatoria aritmética, el teorema de Szemerédi (denominado así en referencia al matemático húngaro Endre Szemerédi) es un resultado relativo a progresiones aritméticas en subconjuntos de los números enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron^[1] que cada conjunto de enteros A con densidad natural positiva contiene k términos en progresión aritmética para cada k. Endre Szemerédi demostró la conjetura en 1975.

Declaración

Se dice que un subconjunto A de números naturales tiene densidad superior positiva si

\limsup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,2,3,\dotsc ,n\}|}{n}}>0

.

El teorema de Szemerédi afirma que un subconjunto de los números naturales con densidad superior positiva contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud k para todos los números enteros positivos k.

Una versión finita equivalente de uso frecuente del teorema establece que para cada número entero positivo k y número real $\delta \in (0,1]$ , existe un número entero positivo

N=N(k,\delta )

tal que cada subconjunto de {1, 2, ..., N} de tamaño al menos δN contiene una progresión aritmética de longitud k.

Otra formulación usa la función r_k(N), el tamaño del subconjunto más grande de {1, 2, ..., N} sin una progresión aritmética de longitud k. El teorema de Szemerédi es equivalente al límite asintótico

r_{k}(N)=o(N)

.

Es decir, r_k(N) crece menos que linealmente con N.

Historia

El teorema de Van der Waerden, un precursor del teorema de Szemerédi, fue probado en 1927.

Los casos k = 1 y k = 2 del teorema de Szemerédi son triviales. El caso k= 3, conocido como teorema de Roth, fue establecido en 1953 por Klaus Roth^[2] a través de una adaptación de método del círculo de Hardy-Littlewood. Endre Szemerédi^[3] demostró el caso k= 4 mediante combinatoria. Usando un enfoque similar al que usó para el caso k= 3, Roth^[4] dio una segunda prueba de este teorema en 1972.

El caso general se resolvió en 1975, también por Szemerédi,^[5] quien desarrolló una extensión ingeniosa y complicada de su anterior argumento combinatorio para k= 4 (llamado "una obra maestra del razonamiento combinatorio" por Erdős^[6]). Ahora se conocen varias otras demostraciones, siendo las más importantes las de Hillel Furstenberg^[7]^[8] en 1977, usando teoría ergódica, y las de William Timothy Gowers^[9] en 2001, usando tanto análisis de Fourier como combinatoria. Terence Tao ha llamado a las diversas demostraciones del teorema de Szemerédi la piedra de Rosetta necesaria para conectar campos dispares de las matemáticas.^[10]

Límites cuantitativos

Es un problema abierto el determinar la tasa de crecimiento exacta de r_k(N). Los límites generales más conocidos son

CN\exp \left(-n2^{(n-1)/2}{\sqrt[{n}]{\log N}}+{\frac {1}{2n}}\log \log N\right)\leq r_{k}(N)\leq {\frac {N}{(\log \log N)^{2^{-2^{k+9}}}}},

donde $n=\lceil \log k\rceil$ . El límite inferior se debe a que O'Bryant^[11] se basó en el trabajo de Behrend,^[12] Rankin,^[13] y Elkin.^[14]^[15] El límite superior se debe a Gowers.^[9]

Para k pequeño, existen límites más estrechos que en el caso general. Cuando k= 3, Bourgain,^[16]^[17] Heath-Brown,^[18] Szemerédi,^[19] y Sanders^[20] proporcionaron límites superiores cada vez más pequeños. Los mejores límites actuales son

N2^{-{\sqrt {8\log N}}}\leq r_{3}(N)\leq C{\frac {(\log \log N)^{4}}{\log N}}N

debido a O'Bryant^[11] y Bloom^[21] respectivamente.

Para k= 4, Green y Tao^[22]^[23] demostraron que

r_{4}(N)\leq C{\frac {N}{(\log N)^{c}}}

para algún c > 0.

Extensiones y generalizaciones

Hillel Furstenberg y Yitzhak Katznelson demostraron por primera vez una generalización multidimensional del teorema de Szemerédi utilizando la teoría ergódica.^[24] William Timothy Gowers,^[25] Vojtěch Rödl y Jozef Skokan^[26]^[27] con Brendan Nagle, Rödl y Mathias Schacht,^[28] y Terence Tao^[29] proporcionaron pruebas combinatorias.

Alexander Leibman y Vitaly Bergelson^[30] generalizaron Szemerédi a progresiones polinómicas: si $A\subset \mathbb {N}$ es un conjunto con densidad superior positiva y $p_{1}(n),p_{2}(n),\dotsc ,p_{k}(n)$ son polinomios de valores enteros tales que $p_{i}(0)=0$ , entonces hay infinitos $u,n\in \mathbb {Z}$ tales que $u+p_{i}(n)\in A$ para todos los $1\leq i\leq k$ . El resultado de Leibman y Bergelson también es válido en un entorno multidimensional.

La versión finita del teorema de Szemerédi se puede generalizar a grupos aditivos finitos que incluyen espacios vectoriales sobre cuerpos finitos.^[31] El análogo de campo finito se puede usar como modelo para comprender el teorema en los números naturales.^[32] El problema de obtener cotas en el caso k=3 del teorema de Szemerédi en el espacio vectorial $\mathbb {F} _{3}^{n}$ se conoce como problema conjunto tapa.

El teorema de Green-Tao afirma que los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. No está implícito en el teorema de Szemerédi porque los números primos tienen densidad 0 en los números naturales. Como parte de su prueba, Ben Green y Tao introdujeron un teorema de Szemerédi "relativo" que se aplica a subconjuntos de números enteros (incluso aquellos con densidad 0) que satisfacen ciertas condiciones de pseudoaleatoriedad. Desde entonces, David Conlon, Jacob Fox y Yufei Zhao han dado un teorema de Szemerédi relativo más general.^[33]^[34]

La conjetura sobre progresiones aritméticas de Erdős implicaría tanto el teorema de Szemerédi como el teorema de Green-Tao.

Véase también

Referencias

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Enlaces externos

PlanetMath source for initial version of this page Archivado el 16 de julio de 2012 en Wayback Machine.
Announcement by Ben Green and Terence Tao – the preprint is available at math.NT/0404188
Discussion of Szemerédi's theorem (part 1 of 5)
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