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Teorema de Szemerédi

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En combinatoria aritmética, el teorema de Szemerédi (denominado así en referencia al matemático húngaro Endre Szemerédi) es un resultado relativo a progresiones aritméticas en subconjuntos de los números enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron[1]​ que cada conjunto de enteros A con densidad natural positiva contiene k términos en progresión aritmética para cada k. Endre Szemerédi demostró la conjetura en 1975.

Declaración

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Se dice que un subconjunto A de números naturales tiene densidad superior positiva si

.

El teorema de Szemerédi afirma que un subconjunto de los números naturales con densidad superior positiva contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud k para todos los números enteros positivos k.

Una versión finita equivalente de uso frecuente del teorema establece que para cada número entero positivo k y número real , existe un número entero positivo

tal que cada subconjunto de {1, 2, ..., N} de tamaño al menos δN contiene una progresión aritmética de longitud k.

Otra formulación usa la función rk(N), el tamaño del subconjunto más grande de {1, 2, ..., N} sin una progresión aritmética de longitud k. El teorema de Szemerédi es equivalente al límite asintótico

.

Es decir, rk(N) crece menos que linealmente con N.

Historia

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El teorema de Van der Waerden, un precursor del teorema de Szemerédi, fue probado en 1927.

Los casos k = 1 y k = 2 del teorema de Szemerédi son triviales. El caso k= 3, conocido como teorema de Roth, fue establecido en 1953 por Klaus Roth[2]​ a través de una adaptación de método del círculo de Hardy-Littlewood. Endre Szemerédi[3]​ demostró el caso k= 4 mediante combinatoria. Usando un enfoque similar al que usó para el caso k= 3, Roth[4]​ dio una segunda prueba de este teorema en 1972.

El caso general se resolvió en 1975, también por Szemerédi,[5]​ quien desarrolló una extensión ingeniosa y complicada de su anterior argumento combinatorio para k= 4 (llamado "una obra maestra del razonamiento combinatorio" por Erdős[6]​). Ahora se conocen varias otras demostraciones, siendo las más importantes las de Hillel Furstenberg[7][8]​ en 1977, usando teoría ergódica, y las de William Timothy Gowers[9]​ en 2001, usando tanto análisis de Fourier como combinatoria. Terence Tao ha llamado a las diversas demostraciones del teorema de Szemerédi la piedra de Rosetta necesaria para conectar campos dispares de las matemáticas.[10]

Límites cuantitativos

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Es un problema abierto el determinar la tasa de crecimiento exacta de rk(N). Los límites generales más conocidos son

donde . El límite inferior se debe a que O'Bryant[11]​ se basó en el trabajo de Behrend,[12]Rankin,[13]​ y Elkin.[14][15]​ El límite superior se debe a Gowers.[9]

Para k pequeño, existen límites más estrechos que en el caso general. Cuando k= 3, Bourgain,[16][17]​ Heath-Brown,[18]​ Szemerédi,[19]​ y Sanders[20]​ proporcionaron límites superiores cada vez más pequeños. Los mejores límites actuales son

debido a O'Bryant[11]​ y Bloom[21]​ respectivamente.

Para k= 4, Green y Tao[22][23]​ demostraron que

para algún c > 0.

Extensiones y generalizaciones

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Hillel Furstenberg y Yitzhak Katznelson demostraron por primera vez una generalización multidimensional del teorema de Szemerédi utilizando la teoría ergódica.[24]William Timothy Gowers,[25]​ Vojtěch Rödl y Jozef Skokan[26][27]​ con Brendan Nagle, Rödl y Mathias Schacht,[28]​ y Terence Tao[29]​ proporcionaron pruebas combinatorias.

Alexander Leibman y Vitaly Bergelson[30]​ generalizaron Szemerédi a progresiones polinómicas: si es un conjunto con densidad superior positiva y son polinomios de valores enteros tales que , entonces hay infinitos tales que para todos los . El resultado de Leibman y Bergelson también es válido en un entorno multidimensional.

La versión finita del teorema de Szemerédi se puede generalizar a grupos aditivos finitos que incluyen espacios vectoriales sobre cuerpos finitos.[31]​ El análogo de campo finito se puede usar como modelo para comprender el teorema en los números naturales.[32]​ El problema de obtener cotas en el caso k=3 del teorema de Szemerédi en el espacio vectorial se conoce como problema conjunto tapa.

El teorema de Green-Tao afirma que los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. No está implícito en el teorema de Szemerédi porque los números primos tienen densidad 0 en los números naturales. Como parte de su prueba, Ben Green y Tao introdujeron un teorema de Szemerédi "relativo" que se aplica a subconjuntos de números enteros (incluso aquellos con densidad 0) que satisfacen ciertas condiciones de pseudoaleatoriedad. Desde entonces, David Conlon, Jacob Fox y Yufei Zhao han dado un teorema de Szemerédi relativo más general.[33][34]

La conjetura sobre progresiones aritméticas de Erdős implicaría tanto el teorema de Szemerédi como el teorema de Green-Tao.

Véase también

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Referencias

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  1. Erdős, Paul; Turán, Paul (1936). «On some sequences of integers». London Mathematical Society 11 (4): 261-264. MR 1574918. doi:10.1112/jlms/s1-11.4.261. 
  2. Roth, Klaus Friedrich (1953). «On certain sets of integers». London Mathematical Society 28 (1): 104-109. MR 0051853. Zbl 0050.04002. doi:10.1112/jlms/s1-28.1.104. 
  3. Szemerédi, Endre (1969). «On sets of integers containing no four elements in arithmetic progression». Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae 20 (1–2): 89-104. MR 0245555. Zbl 0175.04301. doi:10.1007/BF01894569. 
  4. Roth, Klaus Friedrich (1972). «Irregularities of sequences relative to arithmetic progressions, IV». Periodica Math. Hungar. 2 (1–4): 301-326. MR 0369311. S2CID 126176571. doi:10.1007/BF02018670. 
  5. Szemerédi, Endre (1975). «On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression». Acta Arithmetica 27: 199-245. MR 0369312. Zbl 0303.10056. doi:10.4064/aa-27-1-199-245. 
  6. Erdős, Paul (2013). «Some of My Favorite Problems and Results». En Graham, Ronald L.; Nešetřil, Jaroslav; Butler, Steve, eds. The Mathematics of Paul Erdős I (Second edición). New York: Springer. pp. 51-70. ISBN 978-1-4614-7257-5. MR 1425174. doi:10.1007/978-1-4614-7258-2_3. 
  7. Furstenberg, Hillel (1977). «Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions». Journal d'Analyse Mathématique 31: 204-256. MR 0498471. S2CID 120917478. doi:10.1007/BF02813304. .
  8. Furstenberg, Hillel; Katznelson, Yitzhak; Ornstein, Donald Samuel (1982). «The ergodic theoretical proof of Szemerédi's theorem». Bull. Amer. Math. Soc. 7 (3): 527-552. MR 0670131. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15052-2. 
  9. a b Gowers, Timothy (2001). «A new proof of Szemerédi's theorem». Geom. Funct. Anal. 11 (3): 465-588. MR 1844079. S2CID 124324198. doi:10.1007/s00039-001-0332-9. 
  10. Tao, Terence (2007). The dichotomy between structure and randomness, arithmetic progressions, and the primes. En Sanz-Solé, Marta; Soria, Javier; Varona, Juan Luis et al., eds. «Proceedings of the International Congress of Mathematicians Madrid, August 22–30, 2006». International Congress of Mathematicians 1. Zürich: European Mathematical Society. pp. 581-608. ISBN 978-3-03719-022-7. MR 2334204. arXiv:math/0512114. doi:10.4171/022-1/22. 
  11. a b O'Bryant, Kevin (2011). «Sets of integers that do not contain long arithmetic progressions». Electronic Journal of Combinatorics 18 (1). MR 2788676. doi:10.37236/546. 
  12. Behrend, Felix A. (1946). «On the sets of integers which contain no three terms in arithmetic progression». Proceedings of the National Academy of Sciences 32 (12): 331-332. Bibcode:1946PNAS...32..331B. MR 0018694. PMC 1078964. PMID 16578230. Zbl 0060.10302. doi:10.1073/pnas.32.12.331. 
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Bibliografía

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Enlaces externos

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