Teorema de Sturm

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El teorema de Sturm fue desarrollado por el matemático francés Jacques Charles François Sturm. Es útil para hallar los ceros de una función polinómica en un determinado intervalo. Dice lo siguiente:

A partir de un polinomio dado , se suponen los siguientes polinomios cumpliendo lo siguiente:


(Esto es, básicamente, el algoritmo de Euclides)

Para todo número real que no sea una raíz de , sea el número de variaciones en el signo de la sucesión numérica:

en la que se omiten todos los ceros. Si y son números cualesquiera , para los cuales no se anula, entonces el número de raíces distintas en el intervalo (las raíces múltiples se cuentan sólo una vez) es igual a

Demostración del teorema de Sturm[editar]

En primer lugar hay que dejar claro que, dada una sucesión de números reales en la que previamente se ha prescindido de posibles elementos nulos, se dice que dos términos consecutivos presentan variación cuando son de signos opuestos. Por ejemplo, en la sucesión 1, 3, -5, -2, 7 presenta dos variaciones.

Establecido este concepto, considérese una ecuación de grado que se supondrá que admite únicamente simples (lo que no restringe la generalidad, pues toda ecuación con raíces múltiples puede reducirse a otra que tienen las mismas raíces, pero simples. Este hecho se comprueba porque en la cadena anterior, es el máximo común divisor de cualquier par de polinomios de la misma. Por ello, al dividir todos los polinomios por se consegue rebajar los órdenes de multiplicidad de las raíces a uno.

Así pues, consideramos la llamada sucesión de Sturm resultante de dividir por . Llamamos a los términos de dicha sucesión:

En estas condiciones, si es un cero de y , puesto que si alguno de los dos fuese cero, lo sería el otro en virtud de la relación:

y descendiendo sería  !!! Lo cual es absurdo pues debería ser constante distinta de cero.

Sea un intervalo cerrado cualquiera y estúdiese la variación de signo en ese intervalo. Para ello considérese todas las raíces ordenadas de menor a mayor de los polinomios en el intervalo.

En los intervalos del tipo no se anula ningún polinomio de la cadena, por tanto no hay variaciones en el signo, así pues, .

Visualización gráfica del Teorema de Sturm para raíces de

Pero supóngase ahora que es raíz de . Por lo visto antes, si y son distintos de cero y, por tanto lo son en y . Tenemos, pues, la siguiente situación:


Teniendo en cuenta que . Luego en la sucesión siempre hay un cambio de signo, por lo que . Es decir, para valores de a la izquierda de hay una variación. Para valores a la derecha de hay otra variación. Por tanto al pasar por , las variaciones de signo no cambia, esto es, con a la izquierda de y un valor a la derecha de sin ser ceros de .


Visualización gráfica del Teorema de Sturm para raíces de

Ahora considérese que es raíz de . Por tanto será raíz simple de . Según el algoritmo, y tendrán el mismo signo en un intervalo de esta nueva raíz . Esto quiere decir que si para un intervalo (bien a la izquierda o a la derecha de ) la función toma signos iguales que y , al pasar por el cero de ,esto es, , entonces tomará distintos valores que y al otro lado de la raíz . A un lado de dicha raíz habrá variación nula de signo, y al otro lado habrá un cambio (variación) de signo. Lo cuál quiere decir ahora que y, por tanto, hay variación neta de signo al pasar por una raíz de es decir, por .

En resumen, si al pasar por un cero de se pierde (o se gana) una variación, mientras que al pasar por un cero de no aumenta ni disminuye el número de ellas, se concluye que las variaciones de la sucesión de Sturm que se pierden (o ganan) cuando va desde hasta son tantas como las raíces de la ecuación contenidas en el intervalo

Bibliografía[editar]

  • Elementos de Matemáticas. Universidad de Valladolid. (1985)