Teorema del eje paralelo

En física, el teorema de Huygens-Steiner, teorema de los ejes paralelos o simplemente teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes. También puede usarse para calcular el segundo momento de área de una sección respecto a un eje paralelo a otro cuyo momento sea conocido. Debe su nombre al geómetra alemán del siglo XIX Jakob Steiner.

Enunciado

Momentos de inercia

Dado un eje que pasa por el centro de masa de un sólido, y dado un segundo eje paralelo al primero, el momento de inercia de ambos ejes está relacionado mediante la expresión:

$I_{z,P}=I_{z,G}+mr^{2},\,$

donde:

$I_{z,P}\,$ es el momento de inercia del cuerpo según el eje que no pasa a través de su centro de masas;

$I_{z,G}\,$ es el momento de inercia del cuerpo según un eje que pasa a través de su centro de masas;

$m\,$ es la masa del objeto;

$r\,$ es la distancia perpendicular entre los dos ejes.

El resultado anterior puede extenderse al cálculo completo del tensor de inercia. Dado una base vectorial B el tensor de inercia según esa base respecto al centro de masas y respecto a un punto diferente del centro de masas están relacionados por la relación:

$\mathbf {I} _{P}=\mathbf {I} _{G}+m\mathbf {d} \otimes \mathbf {d} \quad \Rightarrow \quad I_{ij,P}=I_{ij,G}+md_{i}d_{j}$

donde:

$\mathbf {d}$ es el vector con origen en G y extremo en P.

Segundos momento de área

La regla puede ser aplicada con la regla de extensión y el teorema de los ejes perpendiculares para encontrar momentos de inercia de una variedad de formas.

Regla de los ejes paralelos para el momento de inercia

La regla de los ejes paralelos también puede aplicarse al segundo momento de área (momento de inercia planar) para una región plana D:

$I_{z}=I_{x}+Ar^{2},\,$

donde:

$I_{z}\!$ es el momento de inercia planar de D relativo al eje paralelo;

$I_{x}\!$ es el momento de inercia planar de D relativa a su centroide;

$A\!$ es el área de una región plana D;

$r\!$ es la distancia del nuevo eje z al centroide de la región plana D.

Nota: El centroide de D coincide con el centro de gravedad (CG) de una lámina fija con la misma forma que tiene densidad uniforme.

Tensor de inercia

En mecánica clásica, el teorema de Steiner (también como teorema de Huygens-Steiner) puede ser generalizado para calcular un nuevo tensor de inercia J_ij a partir de un tensor de inercia sobre el centro de masas I_ij cuando el punto pivotante es un desplazamiento a del centro de masas:

$J_{ij}=I_{ij}+m(\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j})\!$

donde

${\boldsymbol {a}}=a_{1}{\boldsymbol {\hat {x}}}+a_{2}{\boldsymbol {\hat {y}}}+a_{3}{\boldsymbol {\hat {z}}}\!$

es el vector desplazamiento del centro de masas al nuevo eje, y

$\delta _{ij}\!$

es la función delta de Kronecker.

Se puede ver que, para elementos diagonales (cuando i = j), desplazamientos perpendiculares al eje de rotación resultan en la versión simplificada mostrada arriba del teorema de Steiner.

Demostración

Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

$I_{z,cm}=\int {(x^{2}+y^{2})}dm$

El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro de masas, es:

$I_{z}=\int {((x-r)^{2}+y^{2})}dm$

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

$I_{z}=\int {(x^{2}+y^{2})}dm+r^{2}\int dm-2r\int {x}dm$

El primer término es I_cm, el segundo término queda como mr², y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:

$I_{z}=I_{cm}+mr^{2}\,$

Generalización

Para los momentos de tercer orden $\scriptstyle J_{ijk}$ se tiene la expresión:

$J_{ijk}=J_{ijk}^{(CM)}+Ad_{i}d_{j}d_{j}+{\frac {1}{2}}\sum \epsilon _{ijk}I_{ij}^{(CM)}d_{k}$

donde:

$J_{ijk}^{(CM)}\,$ son los momentos de tercer orden respecto al centro de masa.

$I_{ij}^{(CM)}\,$ son los momentos de segundo orden respecto al centro de masa.

$\epsilon _{ijk}\,$ es el símbolo de Levi-Civita.

Si para el cálulo anterior se usan ejes paralelos a los ejes principales de inercia se tiene:

$J_{ijk}=J_{ijk}^{(CM)}+Ad_{i}d_{j}d_{j}$

Véase también

• Teorema de los ejes perpendiculares
• Regla de extensión
• Jakob Steiner

Referencias

• Parallel axis theorem