Teorema de Malus-Dupin

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El teorema de Malus-Dupin es uno de los teoremas fundamentales de la óptica geométrica que la relaciona con la óptica ondulatoria.

Enunciado[editar]

Si sobre cada rayo emitido por un foco recorremos caminos ópticos iguales, entonces los puntos que los delimitan forman una superficie normal a todos los rayos. Denominamos a dicha superficie frente de ondas. Coincide con el frente de onda dado por la teoría oscilatoria. Al deducirse del principio de Fermat, es válido a pesar del número de reflexiones o refracciones que pueda sufrir el rayo antes de llegar a su destino.

Demostración[editar]

La demostración se realiza a partir del principio de Fermat.

Tomamos dos trayectorias distintas separadas infinitesimalmente, y , donde es el foco y y son los puntos de llegada separados por caminos ópticos iguales. Entonces definimos los respectivos caminos ópticos como:

Siendo y los respectivos vectores de posición, y los respectivos diferenciales de espacio y el índice de refracción.

Admitimos que el índice de refracción es derivable.


Emplearemos:

Desarrollo en serie de Taylor de primer orden:

Ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso (deducida a partir del principio de Fermat): de lo que .

La relación de la cual .


Admitimos que el índice de refracción admite un desarrollo en serie de Taylor de orden 1. Entonces se obtiene que

.


Por otro haremos lo mismo con el módulo del vector posición:

.

De modo que:

.


Se reemplaza en el camino óptico:

Eliminamos los elemento de orden de :


Calculamos :

Factorizamos los términos por potencias de :

Por la ecuación de las trayectorias tenemos que de modo que:

Si suponemos que hemos escogido entonces:

Por lo que:

Como el punto A es el foco la separación es siempre nula, en consecuencia:

Como B' es un punto arbitrario se tiene que .

Teníamos que , por lo que une los puntos de la superficie. De lo que la superficie formada es ortogonal a cada rayo. Podemos justificar que los puntos forman una superficie por continuidad.