Teorema de Krein-Rutman

En análisis funcional, el teorema de Krein-Rutman es una generalización del teorema de Perron-Frobenius a los espacios infinitamente dimensionales de Banach.^[1] Fue probado por Krein y Rutman en 1948.^[2]

Declaración[editar]

Dejar a $X$ ser un espacio de Banach, y dejar $K\subset X$ ser un cono convexo tal que $K-K$ es denso en $X$ , es decir, el cierre del grupo $\{u-v:u,\,v\in K\}=X$ . $K$ también se conoce como cono total. Dejar $T:X\to X$ ser un operador compacto distinto de cero que es positivo, lo que significa que $T(K)\subset K$ , y asumiendo que su radio espectral $r(T)$ es estrictamente positivo.

Luego $r(T)$ es un valor propio de $T$ con vector propio positivo, lo que significa que existe $u\in K\setminus {0}$ tal que $T(u)=r(T)u$ .

Teorema de De Pagter[editar]

Si el operador positivo $T$ se supone que es ideal irreductible, es decir, no hay ideal $J\neq 0$ , $X$ tal que $TJ\subset J$ , entonces el teorema de De Pagter^[3] afirma que $r(T)>0$ .

Por lo tanto, para operadores ideales irreductibles, el supuesto $r(T)>0$ no es necesario.

Referencias[editar]

↑ Du, Y. (2006). «1. Krein–Rutman Theorem and the Principal Eigenvalue». Order structure and topological methods in nonlinear partial differential equations. Vol. 1. Maximum principles and applications. Series in Partial Differential Equations and Applications (en inglés). Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 981-256-624-4. MR 2205529.
↑ Kreĭn, M.G.; Rutman, M.A. (1948). «Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space». Uspehi Matem. Nauk (N. S.) (en ruso) 3 (1(23)): 1-95. MR 0027128. .Traducción al inglés; Kreĭn, M.G.; Rutman, M.A. (1950). «Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space». Amer. Math. Soc. Transl. 1950 (26). MR 0038008.
↑ de Pagter, B. (1986). «Irreducible compact operators». Math. Z. (en inglés) 192 (1): 149-153. MR 0835399. doi:10.1007/bf01162028.

Datos: Q6436614

[1] Du, Y. (2006). «1. Krein–Rutman Theorem and the Principal Eigenvalue». Order structure and topological methods in nonlinear partial differential equations. Vol. 1. Maximum principles and applications. Series in Partial Differential Equations and Applications (en inglés). Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 981-256-624-4. MR 2205529.

[2] Kreĭn, M.G.; Rutman, M.A. (1948). «Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space». Uspehi Matem. Nauk (N. S.) (en ruso) 3 (1(23)): 1-95. MR 0027128. .Traducción al inglés; Kreĭn, M.G.; Rutman, M.A. (1950). «Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space». Amer. Math. Soc. Transl. 1950 (26). MR 0038008.

[3] Pagter, B. (1986). «Irreducible compact operators». Math. Z. (en inglés) 192 (1): 149-153. MR 0835399. doi:10.1007/bf01162028.

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