Teorema de Gelfond-Schneider

En matemática, el teorema de Gelfond-Schneider es un resultado que establece la trascendencia de una gran clase de números. Fue probado originalmente por Alexander Gelfond y de nuevo de forma independiente por Theodor Schneider^[1]​ en 1934. El teorema de Gelfond–Schneider es una respuesta al séptimo problema de Hilbert.

Enunciado

Si $\alpha$ y $\beta$ son números algebraicos en el cuerpo de los números complejos (siendo $\alpha \neq 0,1$), y si $\beta$ no es un número racional, entonces cualquier valor de α^β es un número trascendente.

Comentarios

• En general, $\alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \}$ es multivaluada, donde "log" es el logaritmo complejo. Ésta es la razón de la expresión "cualquier valor de" en el enunciado.
• La siguiente es una formulación equivalente del teorema: si $\alpha$ y $\gamma$ son números algebraicos diferentes de cero, y $\alpha \neq 1$, entonces $(\log \gamma )/(\log \alpha )$ es (real) racional o trascendente.
• Si se elimina la restricción de que $\beta$ sea algebraica, el enunciado no será cierto en el caso general (escójanse $\alpha =3$ y $\beta =\log 2/\log 3$, que es trascendente, y $\alpha ^{\beta }=2$, que es algebraico). No se conoce una caracterización de los valores de α y β que produzca un α^β trascendente.

Uso del teorema

Se deriva inmediatamente del teorema la trascendencia de los siguientes números:

• $2^{\sqrt {2}}$ (la constante de Gelfond-Schneider) y ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ (véase demostración no constructiva).
• $e^{\pi }$ (constante de Gelfond), dado que $e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i}$.

Véase también

• Teorema de Lindemann–Weierstrass
• Conjetura de Schanuel; si se demostrase, implicaría tanto el teorema de Gelfond-Schneider como el de Lindemann-Weierstrass

Referencias

• Sur le septième problème de D. Hilbert. (Russian, French) , de A. Gelfond, C. R. Acad. Sc. URSS (2) 2 (1934), pp. 1-6. (zbMATH Open)

• Irrational Numbers, de Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956. (zbMATH Open)

• Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendenz von Potenzen. (German) , de Theodor Schneider, J. Reine Angew. Math. 172 (1934), pp. 65-69. (zbMATH Open)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Gelfond's Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Transcendental Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Notas

• Datos: Q976033