En matemáticas, una -álgebra (léase "sigma-álgebra") sobre un conjunto es una familia no vacía de subconjuntos de , cerrada bajo complementarios y uniones numerables. Las -álgebras se usan principalmente para definir medidas. Es un concepto muy importante en análisis matemático y teoría de la probabilidad.
Al par se le llama espacio medible o espacio probabilizable, en función del contexto.
A los elementos de se les llama conjuntos -medibles (o simplemente conjuntos medibles). En un contexto probabilístico, se les suele llamar sucesos.
Obsérvese que, al imponer que sea no vacía, se puede suprimir la primera condición. Asimismo, se puede obtener otra definición equivalente suprimiendo la condición de que sea no vacía.
Propiedades básicas de las -álgebras
Sea una -álgebra sobre un conjunto . Se cumplen las siguientes propiedades:
- El conjunto vacío pertenece a la -álgebra:
- .
- La -álgebra es cerrada bajo uniones finitas:
- .
- La -álgebra es cerrada bajo intersecciones numerables:
- .
- La -álgebra es cerrada bajo intersecciones finitas:
- .
- La -álgebra es cerrada bajo diferencia de conjuntos:
- .
|
Cabe destacar otra propiedad importante relativa a las -álgebras:
Por el contrario, la unión de -álgebras no es en general una -álgebra.
- Para cualquier conjunto , la familia es una -álgebra (la menor -álgebra posible sobre ). Esta -álgebra se denomina -álgebra trivial.
- Para cualquier conjunto , la familia (conjunto potencia) es una -álgebra (la mayor -álgebra posible sobre ).
- Si , la familia es una -álgebra (la menor que contiene al conjunto ).
- Para cualquier conjunto , la familia (subconjuntos numerables o de complementario numerable) es una -álgebra. Esta familia es distinta del conjunto potencia de si y sólo si es no numerable.
σ-álgebra generada por una familia de subconjuntos
[editar]
Se construye como intersección de todas las -álgebras que contienen a .
- Si , entonces . Concretamente, si , entonces tenemos el ejemplo antes visto: .
- Sea . Entonces , otro ejemplo mencionado anteriormente.
A sus elementos se les llama conjuntos de Borel o borelianos.
Esta definición inspira la construcción de dos nuevas -álgebras:
Por construcción, esta es la mínima -álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre tal que la función es medible.
Por construcción, esta es la máxima -álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre tal que la función es medible.