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σ-álgebra

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En matemáticas, una -álgebra (léase "sigma-álgebra") sobre un conjunto es una familia no vacía de subconjuntos de , cerrada bajo complementarios y uniones numerables. Las -álgebras se usan principalmente para definir medidas. Es un concepto muy importante en análisis matemático y teoría de la probabilidad.

Definición

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-álgebra

Sea un conjunto no vacío.

Llamamos -álgebra sobre a una familia no vacía de subconjuntos de que verifique:

  1. (contiene al total).
  2. (cerrada bajo complementarios).
  3. (cerrada bajo uniones numerables).

Al par se le llama espacio medible o espacio probabilizable, en función del contexto.

A los elementos de se les llama conjuntos -medibles (o simplemente conjuntos medibles). En un contexto probabilístico, se les suele llamar sucesos.

Obsérvese que, al imponer que sea no vacía, se puede suprimir la primera condición. Asimismo, se puede obtener otra definición equivalente suprimiendo la condición de que sea no vacía.

Propiedades

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Propiedades básicas de las -álgebras

Sea una -álgebra sobre un conjunto . Se cumplen las siguientes propiedades:

  1. El conjunto vacío pertenece a la -álgebra:
    .
  2. La -álgebra es cerrada bajo uniones finitas:
    .
  3. La -álgebra es cerrada bajo intersecciones numerables:
    .
  4. La -álgebra es cerrada bajo intersecciones finitas:
    .
  5. La -álgebra es cerrada bajo diferencia de conjuntos:
    .

Cabe destacar otra propiedad importante relativa a las -álgebras:

Sea una familia arbitraria de -álgebras sobre .

Entonces, la intersección es también una -álgebra sobre .

Por el contrario, la unión de -álgebras no es en general una -álgebra.

Ejemplos

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  • Para cualquier conjunto , la familia es una -álgebra (la menor -álgebra posible sobre ). Esta -álgebra se denomina -álgebra trivial.
  • Para cualquier conjunto , la familia (conjunto potencia) es una -álgebra (la mayor -álgebra posible sobre ).
  • Si , la familia es una -álgebra (la menor que contiene al conjunto ).
  • Para cualquier conjunto , la familia (subconjuntos numerables o de complementario numerable) es una -álgebra. Esta familia es distinta del conjunto potencia de si y sólo si es no numerable.

σ-álgebra inducida

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-álgebra inducida

Sea una -álgebra sobre un conjunto y no vacío.

La familia

es una -álgebra sobre . Recibe el nombre de -álgebra inducida.

σ-álgebra generada por una familia de subconjuntos

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-álgebra generada por una familia de subconjuntos

Sea una familia de subconjuntos de .

Se define la -álgebra generada por , denotada por o , como la menor -álgebra (en el sentido de la inclusión) que contiene a .

Se construye como intersección de todas las -álgebras que contienen a .

Ejemplos

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  • Si , entonces . Concretamente, si , entonces tenemos el ejemplo antes visto: .
  • Sea . Entonces , otro ejemplo mencionado anteriormente.

σ-álgebra de Borel

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-álgebra de Borel

Si es un espacio topológico, la -álgebra se denomina -álgebra de Borel.

A sus elementos se les llama conjuntos de Borel o borelianos.

σ-álgebra producto

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-álgebra producto

Sean dos espacios medibles.

Se define la -álgebra producto sobre como:

Funciones medibles

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Función medible

Una función entre dos espacios medibles se dice medible si la preimagen de cualquier conjunto -medible es -medible, esto es:

.

Esta definición inspira la construcción de dos nuevas -álgebras:

σ-álgebra mínima

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Sea un conjunto, un espacio medible y una aplicación.

Entonces, la familia

es una -álgebra sobre .

Por construcción, esta es la mínima -álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre tal que la función es medible.

σ-álgebra máxima

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Sea un espacio medible, un conjunto y una aplicación.

Entonces, la familia

es una -álgebra sobre .

Por construcción, esta es la máxima -álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre tal que la función es medible.

Véase también

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Bibliografía

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