Ver el código de «Sección cónica»

[[Archivo:Conic sections with plane.svg|right|300px|thumb|Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola ('''1'''), elipse y circunferencia ('''2''') e hipérbola ('''3''')]]

En matemática, y concretamente en geometría, se denomina '''sección cónica''' (o simplemente '''cónica''') a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un [[Cono (geometría)|cono]] y un plano;<ref>{{DLE|sección cónica}}</ref> si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas [[elipse]], [[parábola (matemática)|parábola]], [[hipérbola]] y [[circunferencia]].

Las secciones cónicas en el [[plano euclídeo]] tienen varias propiedades distintivas, muchas de las cuales pueden utilizarse como definiciones alternativas.  Una de estas propiedades define una cónica no circular<ref>{{harvnb|Eves|1963|page=319}}</ref> como el [[conjunto (matemáticas)|conjunto]] de aquellos puntos cuyas distancias a algún punto en particular, llamado ''[[Foco (geometría)|foco]]'', y a alguna línea en particular, llamada ''directriz'', están en una proporción fija, llamada ''[[Excentricidad (matemática)|excentricidad]]'''. El tipo de cónica viene determinado por el valor de la excentricidad. En [[geometría analítica]], una cónica puede definirse como una [[curva algebraica|curva algebraica plana]] de grado 2; es decir, como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una [[ecuación cuadrática]] en dos variables que puede escribirse de la forma <math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0.</math> Las propiedades geométricas de la cónica pueden deducirse a partir de su ecuación.

En el plano euclídeo, los tres tipos de secciones cónicas parecen bastante diferentes, pero comparten muchas propiedades. Al extender el plano euclídeo para incluir una recta en el infinito, obteniendo un [[plano proyectivo]], la diferencia aparente desaparece: las ramas de una hipérbola se encuentran en dos puntos en el infinito, lo que la convierte en una única curva cerrada; y los dos extremos de una parábola se encuentran para convertirla en una curva cerrada tangente a la recta en el infinito. Una mayor extensión, mediante la ampliación de las coordenadas [[Número real|real]] para admitir coordenadas [[Número complejo|complejo]], proporciona los medios para véase esta unificación algebraicamente.
== Etimología==
La primera [[definición (matemática)|definición]] conocida de sección cónica surge en la [[Antigua Grecia]], cerca del año {{esd|340 a. C.}}, ([[Menecmo]]) donde fueron definidas como secciones «de un cono circular recto».<ref>Oswald Veblen, John Wesley Young, '''Projective Geometry'', vol I, Ginn & Co. Ed. (1910)</ref> Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a [[Apolonio de Perge]].

Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.

== Geometría euclidiana ==
[[File:TypesOfConicSections.jpg|thumb|Tipos de secciones cónicas:<br /> {{nowrap|1: [[Círculo]]}} &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;{{nowrap|2: [[Elipse]]}}<br>{{nowrap|3: [[Parábola]]}}&nbsp; {{nowrap|4: [[Hipérbola]]}}]]

Las secciones cónicas se han estudiado durante miles de años y han proporcionado una rica fuente de resultados interesantes y bellos en [[geometría euclidiana]].

===Definición===
Una cónica es la curva obtenida como intersección de un [[plano (geometría)|plano]], llamado ''plano de corte'', con la superficie de un [[cono (geometría)|cono]] doble (un cono con dos ''nudos''). Normalmente se asume que el cono es un cono circular recto para facilitar la descripción, pero esto no es necesario; cualquier cono doble con una sección transversal circular será suficiente. Los planos que pasan por el vértice del cono lo intersecan en un punto, una recta o un par de rectas. Se llaman [[#Casos degenerados|''cónicas degeneradas'']] y algunos autores no las consideran cónicas en absoluto. A menos que se indique lo contrario, "cónica" en este artículo se referirá a una cónica no degenerada.

Hay tres tipos de cónicas: la [[elipse]], la [[parábola (geometría)| parábola]] y la [[hipérbola]].<!-- El orden elipse/parábola/hipérbola es importante en discusiones y aplicaciones; por favor, consérvese. --> El [[círculo]] es un tipo especial de elipse, aunque históricamente Apolonio lo consideraba un cuarto tipo. Las elipses surgen cuando la intersección del cono y el plano es una [[curva cerrada]]. La circunferencia se obtiene cuando el plano de corte es paralelo al plano de la circunferencia generatriz del cono; para un cono recto, esto significa que el plano de corte es perpendicular al eje. Si el plano de corte es [[Paralelo (geometría)|paralelo]] a exactamente una recta generatriz del cono, entonces la cónica es no acotada y se denomina ''parábola''. En el caso restante, la figura es una ''hipérbola'': el plano interseca ''ambas'' mitades del cono, produciendo dos curvas separadas no acotadas.
===Excentricidad, foco y directriz===
[[File:Eccentricity.svg|right|upright=1.25|thumb|Ellipse (''e'' = 1/2), parábola (''e'' = 1) e hipérbola {{nobreak|1=(''e'' = 2)}} con foco fijo ''F'' y directriz {{mvar|L}} (''e'' = ∞). El círculo rojo (''e'' = 0) se incluye como referencia; no tiene directriz en el plano]].
Alternativamente, se puede definir una sección cónica puramente en términos de geometría plana: es el [[lugar geométrico]] de todos los puntos {{mvar|P}} cuya distancia a un punto fijo {{mvar|F}} (llamado ''[[foco (geometría)|foco]]'') es un múltiplo constante (llamado ''[[excentricidad (matemática)|excentricidad]]'' {{mvar|e}}) de la distancia de {{mvar|P}} a una línea fija {{mvar|L}} (llamada ''directriz'').
Para {{math|0 < ''e'' < 1}} obtenemos una elipse, para {{math|1=''e'' = 1}} una parábola, y para {{math|''e'' > 1}} una hipérbola.

Un círculo es un caso límite y no está definido por un foco y una directriz en el plano euclídeo. La excentricidad de una circunferencia se define como cero y su foco es el centro de la circunferencia, pero su directriz sólo puede tomarse como la recta al infinito en el plano proyectivo.<ref>{{harvnb|Brannan|Esplen|Gray|1999|page=13}}</ref>.

La excentricidad de una elipse puede verse como una medida de cuánto se desvía la elipse de ser circular.<ref>Cohen, D., ''Precalculus: With Unit Circle Trigonometry'' ([[Stamford, Connecticut|Stamford]]: [[Thomson Corporation|Thomson Brooks/Cole]], 2006), [https://books.google.com/books?id=_cIT_pRdfJIC&pg=PA844 p. 844].</ref>

Si el ángulo entre la superficie del cono y su eje es <math>\beta</math> y el ángulo entre el plano de corte y el eje es <math>\alpha,</math> la excentricidad es <math>\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}.</math><ref>{{harvnb|Thomas|Finney|1979|page=434}}</ref>.

Una prueba de que las curvas anteriores definidas por las [[esferas de Dandelin#Prueba de la propiedad foco-directriz|propiedad foco-directriz]] son las mismas que las obtenidas por planos que intersecan un cono se facilita mediante el uso de [[esferas de Dandelin]].<ref>{{harvnb|Brannan|Esplen|Gray|1999|página=19}};{{harvnb|Kendig|2005|páginas=86, 141}}</ref>.

Alternativamente, una elipse puede definirse en términos de dos focos, como el lugar geométrico de los puntos para los que la suma de las distancias a los dos focos es {{math|2''a''}}}; mientras que una hipérbola es el lugar geométrico para el que la diferencia de distancias es {{math|2''a''}}. (Aquí {{math|''a''}} es el semieje mayor definido a continuación). Una parábola también puede definirse en términos de su foco y su recta latus (paralela a la directriz y que pasa por el foco): es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al foco más o menos la distancia a la recta es igual a {{math|2''a''}}; más si el punto está entre la directriz y la recta latus, menos en caso contrario.

== Tipos ==
[[Archivo:Conic Sections.svg|lang=es|thumb|Perspectiva de las secciones cónicas]]
[[Archivo:AllFourConics.png|thumb|Las cuatro secciones cónicas en el plano]]

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

* β < α : [[Hipérbola]] (naranja)
* β = α : [[Parábola (matemática)|Parábola]] (azul)
* β > α : [[Elipse]] (verde)
* β = 90°: [[Circunferencia]] (un caso particular de elipse) (rojo)
* β = 180° : Triangular

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
* Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
* Cuando β = α la intersección es una recta [[generatriz]] del cono (el plano será [[Tangente (geometría)|tangente]] al cono).
* Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
* Cuando β = 90°, el ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

== Ecuación general de segundo grado ==
===Definición===
Se denomina ecuación general de segundo grado o ecuación cuadrática general en dos variables <math>x</math> e <math>y</math> a una ecuación como   dddd


[[Archivo:Conics anim.gif|220px|thumb|Partiendo de una circunferencia (e = 0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.]]

:<math>ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \, (1)</math>
donde a, h, b, g, f, c son constantes reales, y al menos uno de los valores a, b, h es no nulo.

La elipse, parábola, hipérbola son curvas de segundo grado por satisfacer ecuaciones de la forma (1), pero hay curvas de segundo grado que no son secciones cónicas, para el caso: dan un punto, una recta, dos rectas, ningún punto.<ref>Maynar Kong. Cálculo diferencial</ref>
===Casos de la ecuación general===

Para la ecuación (1), en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

:h² &gt; ab: hipérbola

:h² = ab: parábola

:h² &lt; ab: elipse

: a = b y ''h'' = 0: circunferencia

: a:C y Z:0: triangular

Mediante un software se pueden representar las gráficas de la ecuación general de las cónicas. A continuación se presentan los tres casos: parábola, elipse e hipérbola.

{|
| [[Archivo:Gráfica representa una parábola girada un determinado ángulo.png|thumb|Esta gráfica representa una parábola girada un determinado ángulo.]]

| [[Archivo:Esta gráfica representa una elipse girada con un cierto ángulo.png|thumb|Esta gráfica representa una elipse girada con un cierto ángulo.]]
|[[Archivo:Esta gráfica representa una hipérbola girada un determinado ángulo.png|thumb|Esta gráfica representa una hipérbola girada un determinado ángulo.]]
|}

== Características ==
[[Archivo:Conic sections full ani.gif|thumb|Secciones cónicas]]
La '''[[elipse]]''' es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Además de los focos F y F′ con coordenadas (c;0) y (-c;0) si se encuentran sobre el eje de las abcisas respectivamente y (0;c) y (0;-c) si estos focos se encuentran sobre el eje de las coordenadas (ejes de las y) respectivamente. En una elipse se destacan los siguientes elementos:
* Centro, O
* Eje mayor, AA′ (conocido también com
* Eje menor, BB′ (llamado eje conjugado)
* Distancia focal, OF


La elipse posee la ecuación ordinaria (con centro en el origen de coordenadas): <math>\frac{ x^2}{a^2}+\frac{ y^2}{b^2} = 1 </math>, si por otra parte el centro de la elipse tiene coordenadas <math>(h,k)</math> tiene la siguiente expresión algebraica: <math>\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 </math>

La '''[[hipérbola]]''' es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.

Tiene dos [[asíntotas]] (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos: 

* Centro, O 
* Vértices, A y A 
* Distancia entre los vértices 
* Distancia entre los focos

La ecuación de una hipérbola horizontal con centro <math>(h,k)</math>, es: <math>\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \,</math>.

A su vez, la de una hipérbola vertical es: <math>\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \,</math>.

La '''[[parábola (matemática)|parábola]]''' es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada [[directriz]].

Además del foco (F) y de la directriz de una parábola, se destacan los siguientes elementos: 

* Eje, e 
* Vértice, V 
* Distancia de F a d = p

Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de [[ordenada]]s, tiene la siguiente [[ecuación]]: <math>\ y = a{x^2} \,</math>, mientras que la ecuación general de una parábola centrada en <math>(h,k)</math> sobre el eje de ordenadas es <math>(y-k)=2p(x-h)^2\,</math>.

== Aplicaciones ==

Las curvas cónicas son importantes en [[astronomía]]: dos cuerpos masivos que interactúan según la [[ley de gravitación universal]], sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en [[aerodinámica]] y en su aplicación [[industrial]], ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, [[Morfología (diseño)|formas]] y curvas perfectas.

== Historia ==

=== Menecmo y primeros trabajos ===

Se cree que la primera definición de una sección cónica fue dada por [[Menecmo]] (fallecido en el año 320 a.{{esd}}C.) como parte de su solución al problema de Delian (Duplicación del cubo).{{efn|Según [[Plutarco]], esta solución fue rechazada por Platón sobre la base de que no se podeía conseguir solamente  utilizando solo regla y compás, sin embargo esta interpretación de la afirmación de Plutarco ha sido criticada.{{harvnb|Boyer|2004|loc=p.14, footnote 14.}}}}<ref>{{harvnb|Boyer|2004|pages=17–18}}</ref> Su trabajo no sobrevivió, ni siquiera los nombres que utilizó para estas curvas, y solo se conoce a través de relatos secundarios.<ref>{{harvnb|Boyer|2004|page=18}}</ref> La definición utilizada en aquella época difiere de la que se utiliza comúnmente en la actualidad. Los conos se construían girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, de modo que la hipotenusa genera la superficie del cono (dicha línea se denomina generatriz). Se determinaban tres tipos de conos por sus ángulos de vértice (medidos por el doble del ángulo formado por la hipotenusa y el cateto sobre el que se giraba el triángulo rectángulo). La sección cónica se determinó entonces mediante la intersección de uno de estos conos con un plano trazado perpendicularmente a una generatriz. El tipo de cónica viene determinado por el tipo de cono, es decir, por el ángulo que se forma en el vértice del cono: Si el ángulo es agudo, la cónica es una elipse; si el ángulo es recto, la cónica es una parábola; y si el ángulo es obtuso, la cónica es una hipérbola (pero solo una rama de la curva).<ref>{{harvnb|Katz|1998|page=117}}</ref>

Se dice que [[Euclides]] (hacia el año 300 a.{{esd}}C.) escribió cuatro libros sobre cónicas, pero también se perdieron[28] Se sabe que [[Arquímedes]] (fallecido hacia el año 212 a.{{esd}}C.) estudió las cónicas, habiendo determinado el área limitada por una parábola y una cuerda en Cuadratura de la Parábola. Su principal interés se centraba en la medición de áreas y volúmenes de figuras relacionadas con las cónicas y parte de este trabajo sobrevive en su libro sobre los sólidos de revolución de las cónicas, ''Sobre Conoides y Esferoides''<ref>{{harvnb|Eves|1963|page=28}}</ref>

=== Apolonio de Perga ===

[[Archivo:Conica of Apollonius of Perga fol. 6b-7a DETAIL.jpg|thumbnail|right|Diagrama de las cónicas de Apolonio, en una traducción árabe del {{siglo|IX||s}}.]]

El mayor progreso en el estudio de las cónicas por parte de los antiguos griegos se debe a [[Apolonio de Perga]] (fallecido hacia el año 190 a.{{esd}}C.), cuyos ocho volúmenes Secciones cónicas o Cónicas resumieron y ampliaron en gran medida los conocimientos existentes.<ref>Apollonius of Perga, [https://books.google.com/books?id=hRtaAQAAQBAJ&printsec=frontcover ''Treatise on Conic Sections''], edited by T. L. Heath (Cambridge: Cambridge University Press, 2013).</ref> El estudio de Apolonio de las propiedades de estas curvas permitió demostrar que cualquier plano que corte a un doble cono fijo (dos nudos), independientemente de su ángulo, producirá una cónica según la definición anterior, lo que condujo a la definición comúnmente utilizada en la actualidad. Los círculos, que no se pueden construir con el método anterior, también se pueden obtener de esta manera. Esto puede explicar por qué Apolonio consideraba los círculos como un cuarto tipo de sección cónica, una distinción que ya no se hace. Apolonio utilizó los nombres de «elipse», «parábola» e «hipérbola» para estas curvas, tomando prestada la terminología de los trabajos pitagóricos anteriores sobre áreas.<ref>{{harvnb|Eves|1963|page=30}}.</ref>

Se atribuye a [[Papo de Alejandría]] (fallecido hacia el año 350 d.{{esd}}C.) el haber expuesto la importancia del concepto de foco de una cónica, y el haber detallado el concepto relacionado de una directriz, incluyendo el caso de la parábola (que falta en las obras conocidas de Apolonio).<ref>{{harvnb|Boyer|2004|page=36}}.</ref>

=== Abū Sahl al-Qūhī ===

El matemático islámico [[Abū Sahl al-Qūhī]] describió por primera vez en el año 1000 un instrumento para dibujar secciones cónicas.<ref>{{cite book|last=Stillwell|first=John|title=Mathematics and its history|year=2010|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-1-4419-6052-8|page=[https://books.google.cz/books?id=DOYlBQAAQBAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA30&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false 30]|edition=3rd}}</ref>{{rp|30}}<ref>{{cite web|title=Apollonius of Perga Conics Books One to Seven|url=http://www.math.psu.edu/katok_s/Commentaries-new.pdf|access-date=2011-06-10|archive-date=17 May 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20130517180611/http://www.math.psu.edu/katok_s/Commentaries-new.pdf}}</ref>

=== Omar Jayam ===

La obra de Apolonio fue traducida al árabe, y gran parte de su trabajo solo sobrevive a través de la versión árabe. Los persas encontraron aplicaciones de la teoría, sobre todo el matemático y poeta persa [[Omar Jayam]],<ref>{{cite book |title=Science in Medieval Islam: An Illustrated Introduction |first=Howard R. |last=Turner |publisher=[[University of Texas Press]] |year=1997 |isbn=0-292-78149-0 |page=53 |url=https://books.google.com/books?id=BbpaBAAAQBAJ}}</ref> que encontró un método geométrico para resolver ecuaciones cúbicas utilizando secciones cónicas.<ref>[[Carl Benjamin Boyer|Boyer, C. B.]], & [[Uta Merzbach|Merzbach, U. C.]], ''A History of Mathematics'' ([[Hoboken, New Jersey|Hoboken]]: John Wiley & Sons, Inc., 1968), [https://books.google.com/books?id=V6RUDwAAQBAJ&pg=PA219 p. 219].</ref><ref>[[Bartel Leendert van der Waerden|Van der Waerden, B. L.]], ''Geometry and Algebra in Ancient Civilizations'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]], 1983), [https://books.google.com/books?id=-pTzCAAAQBAJ&pg=PA73#v=onepage&q&f=false p. 73].</ref>

=== Europa ===

[[Johannes Kepler]] amplió la teoría de las cónicas mediante el «principio de continuidad», precursor del concepto de límite. Kepler utilizó por primera vez el término «focos» en 1604.<ref>{{harvnb|Katz|1998|page=126}}.</ref>

[[Girard Desargues]] y [[Blaise Pascal]] desarrollaron una teoría de las cónicas utilizando una forma temprana de geometría proyectiva, lo que contribuyó a impulsar el estudio de este nuevo campo. En particular, Pascal descubrió un teorema conocido como el ''hexagrammum mysticum'' del que se pueden deducir muchas otras propiedades de las cónicas.

[[René Descartes]] y [[Pierre Fermat]] aplicaron su recién descubierta geometría analítica al estudio de las cónicas. Esto tuvo el efecto de reducir los problemas geométricos de las cónicas a problemas de álgebra. Sin embargo, fue John Wallis en su tratado de 1655 Tractatus de sectionibus conicis quien definió por primera vez las secciones cónicas como instancias de ecuaciones de segundo grado.<ref>{{harvnb|Boyer|2004|page=110}}.</ref> Escrito con anterioridad, pero publicado más tarde, ''Elementa Curvarum Linearum'' de [[Jan de Witt]] comienza con la construcción cinemática de Kepler de las cónicas y luego desarrolla las ecuaciones algebraicas. Esta obra, que utiliza la metodología de Fermat y la notación de Descartes, ha sido descrita como el primer libro de texto sobre el tema.<ref name="BoyerDeWitt">{{harvnb|Boyer|2004|page=114}}.</ref> De Witt inventó el vocablo: «directriz».<ref name=BoyerDeWitt />

== Véase también ==
[[Cónica generalizada]]<br />
[[Sección cónica degenerada]]
;Curvas cónicas
* [[Circunferencia]]
* [[Elipse]]
* [[Parábola (matemática)|Parábola]]
* [[Hipérbola]]
* [[Cuádrica]]
* [[Esferas de Dandelin]]

;Aplicaciones
* [[Aerodinámica]]
* [[Astronomía]]
* [[Morfología (diseño)]]
* [[Gravitación]]
* [[Geometría proyectiva]]

== Notas y referencias ==
{{Listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{cite book |last1=Akopyan |first1=A.V.  |last2=Zaslavsky |first2=A.A. | title=Geometry of Conics | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2007 | isbn=978-0-8218-4323-9 }}
* {{citation|first=Rafael|last=Artzy|author-link=Rafael Artzy|title=Linear Geometry|year=2008|año-original=|publisher=Dover|isbn=978-0-486-46627-9}}
* {{citation|first=Carl B.|last=Boyer|author-link=Carl Benjamin Boyer|title=History of Analytic Geometry|url=https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC|publisher=Dover|year=2004|año-original=|isbn=978-0-486-43832-0}}
* {{citation|first1=David A.|last1=Brannan|first2=Matthew F.|last2=Esplen|first3=Jeremy J.|last3=Gray|title=Geometry|url=https://books.google.com/books?id=q49lhAzXTFEC|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-59787-6}}
* {{citation|first=H.S.M.|last=Coxeter|author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter|title=Projective Geometry|url=https://books.google.com/books?id=gjAAI4FW0tsC|publisher=Blaisdell|year=1964|isbn=9780387406237}}
* {{citation|first=H.S.M.|last=Coxeter|title=The Real Projective Plane|publisher=Springer Science & Business Media|year=1993}}
* {{citation|first=J.W.|last=Downs|title=Practical Conic Sections: The geometric properties of ellipses, parabolas and hyperbolas|url=https://books.google.com/books?id=PE7CAgAAQBAJ|year=2003|año-original=|publisher=Dover|isbn=0-486-42876-1}}
* {{citation|first=Howard|last=Eves|author-link=Howard Eves|title=A Survey of Geometry (Volume One)|year=1963|publisher=Allyn and Bacon|place=Boston}}
* {{citation|first1=Georg|last1=Glaeser|first2=Hellmuth|last2=Stachel|first3=Boris|last3=Odehnal|title=The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments|year=2016|publisher=Springer|place=Berlin}}
* {{citation|first=Erich|last=Hartmann|title=Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes|url=http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf|access-date= 2014-09-20}} (PDF; 891&nbsp;kB).
* {{citation|first=Victor J.|last=Katz|author-link=Victor J. Katz|title=A History of Mathematics / An Introduction|edition=2nd|year=1998|publisher=Addison Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz}}
* {{citation|first=Keith|last=Kendig|title=Conics|year=2005|publisher=[[The Mathematical Association of America]]|isbn=978-0-88385-335-1}}
* {{citation|first=T. E.|last=Faulkner|title=Projective Geometry|edition=2nd|url=https://books.google.com/books?id=3TwCIg_O2yMC|publisher=Oliver and Boyd|place=Edinburgh|year=1952|isbn=9780486154893}}
* {{citation|first=Bruce E.|last=Merserve|title=Fundamental Concepts of Geometry|url=https://books.google.com/books?id=Y6jDAgAAQBAJ|year=1983|año-original=1959|publisher=Dover|isbn=0-486-63415-9}}
* {{ citation | first1 = Murray H. | last1 = Protter | first2=Charles B. Jr. | last2=Morrey | year = 1970 | lccn = 76087042 | title = College Calculus with Analytic Geometry | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
* {{cite book |first=Jürgen | last=Richter-Gebert | title=Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry  | publisher=Springer| year=2011 | isbn=9783642172854 }}
* {{citation|first=Pierre|last=Samuel|author-link=|title=Projective Geometry|publisher=Springer-Verlag|place=New York|year=1988|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] (Readings in Mathematics)|isbn=0-387-96752-4|url-access=registration|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000samu}}
* {{citation|first1=George B.|last1=Thomas|first2=Ross L.|last2=Finney|title=Calculus and Analytic Geometry|publisher=Addison-Wesley|edition=fifth|date=1979|page=434|isbn=0-201-07540-7}}
* {{citation|first1=W.A.|last1=Wilson|first2=J.I.|last2=Tracey|title=Analytic Geometry|year=1925|publisher=D.C. Heath and Company|edition=Revised}}

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Conic sections|secciones cónicas}}
*[http://www.laslaminas.es/geometria-plana/curvas-conicas Curvas cónicas en laslaminas.es] <small>(14/5/12)</small>
*[http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conicas/marco_conicas.htm Cónicas en wmatem.eis.uva.es]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Geometría analítica]]
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