Resultante

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En matemáticas, la resultante de dos polinomios mónicos y sobre un cuerpo se define como el producto:

de las diferencias de sus raíces, donde y toma valores en la clausura algebraica de . Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes y , respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por

Computación[editar]

  • El productorio anterior puede ser reescrito como
y esta expresión permanece invariante si se reduce módulo .
  • Sea . La idea anterior puede ser aplicada intercambiando los papeles de y . Sin embargo, tiene un conjunto de raíces diferentes de las de . Esto puede ser resuelto escribiendo como un determinante otra vez, donde tiene como coeficientes no dominantes el cero. Este determinante puede ser simplificado mediante una expansión iterativa con respecto la columna, donde solo el coeficiente dominante de aparece.
Continuando este procedimiento obtenemos una variante del algoritmo de Euclides. Este procedimiento necesita tiempo de ejecución cuadrático.

Propiedades[editar]

  • Si y , entonces
  • Si tienen el mismo grado y ,
entonces
  • donde

Aplicaciones[editar]

  • Las resultantes pueden ser usadas en la geometría algebraica para determinar intersecciones. Por ejemplo, sean y definiendo unas curva algebraica en . Si y son vistos como polinomios en con coeficientes en , entonces la resultante de y es un polinomio en cuyas raíces son las coordenadas de la intersección de las curvas.

Referencias[editar]