Programación geométrica

Un programa geométrico es un problema de optimización de la forma

Minimizar $\ f_{0}(x)\$ tal que

f_{i}(x)\leq 1,\quad i=1,\dots ,m

h_{i}(x)=1,\quad i=1,\dots ,p

donde $f_{0},\dots ,f_{m}$ son posinomios y $h_{1},\dots ,h_{p}$ son monomios. Hay que subrayar que al hablar de programación geométrica (al contrario que en otras disciplinas), un monomio se define como una función $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ con $\mathrm {dom} \ f=\mathbb {R} _{++}^{n}$ definido como

f(x)=cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}

donde $c>0\$ y $a_{i}\in \mathbb {R}$ .

Tiene múltiples aplicaciones, como el dimensionamiento de circuitos y la estimación paramétrica vía regresión logística en estadística.

Forma convexa

Los programas geométricos no son por regla general problemas de optimización convexa, pero pueden transformarse en ellos mediante un cambio de variables y una transformación de las funciones objetivo y de restricción. Definiendo $y_{i}=\log {x_{i}}$ , el monomio $f(x)=cx_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}\mapsto e^{a^{T}y+b}$ , donde $b=log{c}$ . De la misma forma, si $f$ es el posinomio

$f(x)=\sum _{k=1}^{K}c_{k}x_{1}^{a_{1k}}\cdots x_{n}^{a_{nk}}$

entonces $f(x)=\sum _{k=1}^{K}e^{a_{k}^{T}y+b_{k}}$ , donde $a_{k}=(a_{1k},\dots ,a_{nk})$ y $b_{k}=\log {c_{k}}$ . Tras el cambio de variables, el posinomio se convierte en una suma de exponenciales de funciones afines.