Producto triple de Jacobi

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En matemática, el producto triple de Jacobi triple es la identidad matemática:

\prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - x^{2m}\right)
\left( 1 + x^{2m-1} y^2\right)
\left( 1 + x^{2m-1} y^{-2}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2} y^{2n}.

para números complejos x e y, con |x| < 1 e y ≠ 0.

Ésta es atribuida a Carl Gustav Jacob Jacobi, la cual demostró en 1829 en su trabajo Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.[1]

Propiedades[editar]

Los fundamentos de la demostración de Jacobi se realizan sobre el teorema del número pentagonal de Euler, el cual es por sí mismo un caso específico de identidad en forma de producto triple de Jacobi.

Así pues, sea x=q^{3/2} y y^2=-\sqrt{q}. Entonces se obtiene

\phi(q) = \prod_{m=1}^\infty \left(1-q^m \right) =
\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.\,

El producto triple de Jacobi también permite escribir la función theta de Jacobi como un producto infinito como sigue:

Sea x=e^{i\pi \tau} y y=e^{i\pi z}.

Entonces la función theta de Jacobi

 \vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z)

puede ser escrita en la forma:

\sum_{n=-\infty}^\infty y^{2n}x^{n^2}.

Usando la identidad del producto triple de Jacobi se puede escribir la función theta como el producto de:

\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right).
.

Hay varias notaciones diferentes que pueden ser usadas para expresar el producto triple de Jacobi. Ésta toma la siguiente forma concisa cuando es expresada en términos de símbolos q-Pochhammer:

\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n(n+1)/2}z^n =
(q;q)_\infty \; (-1/z;q)_\infty \; (-zq;q)_\infty

donde (a;q)_\infty es el símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.

Ésta goza particularmente de una forma elegante cuando es expresada en términos de la función theta de Ramanujan. Para |ab|<1 ésta puede ser escrita como

f(a,b) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty.

Notas[editar]

  1. Remmert, R. (1998). Classical Topics in Complex Function Theory (pp. 28-30). New York: Springer.

Referencias[editar]