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= {1\over\sqrt{10}} \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}. </math> |
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== Enlaces externos == |
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== Enlaces externos == muy buena información. |
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* [http://www.kmels.net/publications/2009/05/ortogonalizacion-de-gram-schmidt/ 2009, C. López, Publicación - Ortogonalización de Gram-Schmidt] |
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* [http://www.kmels.net/publications/2009/05/ortogonalizacion-de-gram-schmidt/ 2009, C. López, Publicación - Ortogonalización de Gram-Schmidt] |
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En álgebra lineal, el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.
Descripción del algoritmo de ortogonalización de Gram–Schmidt
Los dos primeros pasos del proceso de Gram–Schmidt
Se define, en primer lugar, el operador proyección mediante
![{\displaystyle \mathrm {proj} _{\mathbf {u} }\,\mathbf {v} ={\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }\mathbf {u} ={||\mathbf {v} ||||\mathbf {u} ||\cos \alpha \over ||\mathbf {u} ||||\mathbf {u} ||1}\mathbf {u} =||\mathbf {v} ||\cos \alpha {\mathbf {u} \over ||\mathbf {u} ||},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9294ae8651911413fd2c994f8b4c10c894f702b7)
donde los corchetes angulares representan el producto interior. Es evidente que
![{\displaystyle \mathbf {v} -\mathrm {proj} _{\mathbf {u} }\,\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906c6095b17be611455b2ab7d4763ed0866d7c7a)
es un vector ortogonal a
. Entonces, dados los vectores
, el algoritmo de Gram–Schmidt construye los vectores ortonormales
de la manera siguiente:
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A partir de las propiedades de la proyección y del producto escalar, es sencillo probar que la sucesión de vectores
es ortogonal.
Ejemplo
Considera el siguiente conjunto de vectores en R2 (con el convencional producto interno)
![{\displaystyle S=\left\lbrace \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\right\rbrace .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eebe6ee8edcf5b6dffc82b9d40402465db91fb8)
Ahora, aplicamos Gram–Schmidt, para obtener un conjunto de vectores ortogonales:
![{\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4637d9ee5b963ff53652089caf6ddf61fd4ab79)
![{\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{({3 \atop 1})}\,{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cf52cd6d1109178d7f0af0485cec6e412f3c57)
Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho ortogonales:
![{\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3cb3fc7e05e1883c7ab839b3c08e32d1b8d999a)
Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo por su norma como hemos mostrado anteriormente:
![{\displaystyle \mathbf {e} _{1}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2299ccbd2f7c7c40a101977365683a6c79fbba)
![{\displaystyle \mathbf {e} _{2}={1 \over {\sqrt {40 \over 25}}}{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed4f12c4b689a279e9204887fb9270f8d35412f)
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