Predicado (lógica)

En lógica matemática, un predicado es una función del conjunto de la constante al conjunto de las proposiciones lógicamente interpretables (en el sentido de la lógica proposicional); igualmente un predicado puede concebirse como una función del conjunto de los cuantificadores al conjunto de predicados de la lógica proposicional:

${\begin{cases}c\mapsto P(c)\\{\text{Q}}\mapsto {\text{Q}}x:P(x)&(Q\in \{\exists ,\forall \})\end{cases}}$

La lógica de primer orden generaliza a la lógica proposicional precisamente en que su formalismo puede tratar cuantificadores de variables como predicados. La lógica de segundo orden permitiría además cuantificadores sobre predicados, además de cuantificadores sobre variables.

Introducción

A veces es difícil o imposible enumerar un conjunto mencionando todos y cada uno de sus elementos. Una manera útil de trabajar consiste en especificar dicho conjunto mediante una propiedad que todos los elementos del conjunto tengan en común.

La notación $\scriptstyle P(x)$ se usa para denotar la afirmación de que x tiene la propiedad P (el nombre predicado se justifica porque muchos predicados gramaticales del lenguaje ordinario son representables tienen propiedades lógicas similares a lo predicados de la lógica matemática). Así un cierto conjunto puede ser presentado por la notación:

$C=\{x|\ P(x)\}\,$

que se lee como « $\scriptstyle C$ está formado por todos los $\scriptstyle x$ tales que $\scriptstyle P(x)$ » o dicho de otra manera el conjunto de elementos que tienen cierta propiedad. Por ejemplo:

$C_{1}=\{x|\ (x\in \mathbb {N} )\land (x<4)\}=\{1,2,3\}$

El conjunto de los números naturales que son menores o igual que cuatro, coincide con el conjunto que consta de los elementos 1, 2 y 3.

De lo anterior se sigue que cualquier elemento del conjunto $\scriptstyle \{x|\ P(x)\}$ es un objeto matemático $\scriptstyle t$ para el cual la proposición $\scriptstyle P(t)$ es cierta.

Igualmente el predicado $\scriptstyle P(\cdot )$ puede interpretarse como una función proposicional tal que para cada argumento de la misma en el dominio de definición resulta el valor verdadero o falso según lo sea la proposición (lógica) en su referencia al mundo.

Predicado en diversos contextos

En semántica formal un predicado es una expresión que define a un subconjunto de un conjunto, a saber, el subconjunto de los elementos del conjunto para los cuales el predicado es verdadero, y por tanto un predicado puede pensarse como una función característica o indicadora del subconjunto, es decir, que vale 1 para elmentos del subconjunto y 0 para el resto de elementos.

En lógica de primer orden un predicado es un objeto básico del lenguaje de dicha lógica que puede representar tanto una propiedad como una relación entre entidades.

**Conceptos de Predicado Lógico**
Lógica aristotélica	Los elefantes son seres que son más grandes que los leones	S es P
Lógica de primer orden	Para todo x tal que x es un elefante, entonces, x es mayor que los leones	$\bigwedge xPx$
Lógica de segundo orden	'Ser más grande que los leones' se predica de 'los elefantes'	$Px$
Lógica de clases	La clase universal 'los elefantes' (S) está contenida en la clase de 'más grandes que los leones' (P)	$S\subset P$
Lógica de relaciones	Los elefantes (a = elefantes) tienen una relación R (R = ser más grande que) de ser más grandes que los leones (b = leones)	$aRb$